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Aquecimento:
P=(A+C)/2 Q=(B+D)/2
PQ = Q-P = (B+D-A-C)/2 = (AB+CD)/2
2PQ = AB+CD
Solu�ao:
AC^2 + BD^2 + 4PQ^2 = AC^2 + BD^2 +
(AB+CD)^2
= AB^2 + CD^2 +2AB.CD + AC^2 + BD^2 (agora a ideia eh por tudo em
fun�ao dos lados)
= AB^2 + CD^2 +2AB.CD + (DC-DA)^2 +BD^2=
AB^2 + CD^2 +2AB.CD + DC^2 +DA^2 - 2 DC.DA + BD^2=
AB^2 + CD^2 + DA^2 + DC^2 + BD^2 + 2AB.CD + 2DA.CD=
AB^2 + CD^2 + DA^2 + DC^2 + BD^2 + 2(AB+DA).CD =
AB^2 + CD^2 + DA^2 + DC^2 + BD^2 + 2DB.CD =
AB^2 + CD^2 + DA^2 + (DB+CD)^2 =
AB^2 + CD^2 + DA^2 + CB^2
Paulo Lino wrote:
>Caros colegas do Teoremalista
>Aproveito a oportunidade para me ajudar no seguinte problema: Seja ABCD um quadrilatero qualquer de diagonais AC e BD. Sejam P e Q os pontos medios de AC e BD. Prove que AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + 4PQ^2 (Teorema de Euler)
>Eu acho que o caminho � usar vetores e produto escalar, mas ainda nao consegui resolver. Alem disso, PQ parece ser paralelo a um dos lados.
>
>
>
>
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