Segue abaixo a solução do problema 5 da olimpíada do nível 3. (É +- a solução dada por um aluno meu, o Antônio Munhoz, que foi prata). Só pra relembrar o enunciado : "Temos um número finito de quadrados, de área total 4. Prove que é possível arranjá-los de modo a cobrir um quadrado de lado 1.
Obs: É permitido sobrepor quadrados e parte deles pode ultrapassar os limites do quadrado a ser coberto." Solução: Se há um quadrado de área >=1, terminou. Se não há, divida os quadrados em tipos. Tipo n: quadrados com área entre1/4^n e 1/4^(n-1). Então é fácil ver que precisamos considerar que há no máximo 3 quadrados de cada tipo, pois se há 4 do tipo n, junte-os e terá um de um tipo n-1. Suponha então que não temos mais de 4 quadrados do tipo n, para todo n. Então a soma das áreas é < 3 + 3/4 + 3/16 +.... = 4 (pois há um número finito de quadrados), uma contradição, pois temos soma =4. Logo existem 4 quadrados do tipo k, para algum k (considere o menor k com essa propriedade). Então junte-os e temos um quadrado extra do tipo k-1. Agora, é só repetir o argumento : certamente há 4 de algum tipo, chame de j esse tipo. Claramente j < k, junte os quadrados do tipo j e temos mais um do tipo j-1. Prosseguindo desta forma, temos 4 quadrados do tipo 1, juntando-os, temos um quadrado de área >1, que cobre o quadrado dado. Abraços, Villard -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 15 de Dezembro de 2002 17:09 Assunto: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA >Olá, pessoal. Meu nome é Helder Oliveira de Castro e sou um novo membro da >lista. A minha dúvida é sobre o problema No. 5 da OBM 2002 - será que alguém >pode me ajudar? > >_________________________________________________________ >Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? >Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================