Pessoal Sem querer ser chato, mas acho que jeito muito mais simples de demostrar isso.
1- Vamos imaginar um polígono de N vértices, ordenados no sentido horário. Considere o vértice N+1 = vértice 1 2- Agora, vamos chamar de Tn o trapézio formado pelos vértices (Xn, Yn)(Xn+1,Yn+1)(Xn+1,0)(Xn,0). A área pode ser calculada por (Xn+1 - Xn) * (Yn+1 + Yn) / 2. (Vale área negativa) 3- Graficamente, dá para ver que SOMA(área(Tn)) n de 1 a N é a área do polígono em questão. Desenvolvendo a soma, temos Área = (Soma(Xn * Yn+1) - Soma(Xn+1 * Yn)) / 2. Detalhe: Vale para qualquer polígono, desde que suas arestas não se cruzem. -----Original Message----- From: Marcio [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Wednesday, December 18, 2002 6:15 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos Bom, ja falei isso numa mensagem anterior, mas vou assumir que as pessoas nao leram pq o titulo da msg acabou ficando estranho... Eh obvio que esses "macetes" podem ser demonstrados.. Acho que ainda teremos que estudar muita matematica ateh q a gente comece a precisar utilizar resultados fortes ainda em aberto. A demonstracao por inducao eh bem natural. Vou colocar aqui. (i) Caso n =3 (eh o + dificil): Se os vertices sao (xi,yi), i=1,2,3 (tomados no sentido anti-horario), entao a área é: 2S = absenx = |(x2-x1, y2-y1) X (x3-x1, y3-y1)| = ... (Se vc nao sabe que o modulo do produto vetorial eh absenx, vc pode recriar isso, elevando os dois lados da 1a eq. ao quadrado e usando a lei dos cossenos para ficar com uma expressao que soh dependa dos lados.. eh grande mais eh rapido. Pensando mais um pouco, ve-se que se os vertices estao no sentido anti horario o determinante sempre da positivo). (ii) Suponha que qualquer poligono convexo com n ou menos vertices, tem area dada por (x_1*y_2 + x_2*y_3 + ... + x_n-1 *y_n + x_n*y_1 - y_1*x_2 - ... - y_n*x_1)/2 (onde os vertices (xi,yi) foram tomados no sentido anti-horario). Dado um poligono convexo de n+1 vertices A0, A1, ... An, vc pode calcular sua area somando as areas do poligono A1-...-An com a do triangulo A0A1An (note que aqui eu estou usando a convexidade). Usando a hip. de inducao, o dobro da area desse poligono eh: (x1*y2 + x2*y3 + ... + x_n-1 *yn + 'xn*y1' - y1*x2 - ... - 'yn*x1')+ (x0*y1+'x1*yn' + xn*y0 - y0*x1 - 'y1*xn' - yn*x0) = (x0*y1 + x1*y2 + ...+ xn*y0 - y0*x1 - y1*x2 - ... - yn*x0), ou seja o resultado tmb vale para n+1 vertices.. O passo mais dificil dessa demonstracao eh vc inicialmente modificar um pouco o resultado que as pessoas costumam conhecer. Ao inves de supor que a area eh dada pelo modulo do determinante (no caso geral), vc supoe que ela eh o proprio det, desde que os vertices sejam tomados no sentido anti-horario. Um resultado analogo a esse pode ser estabelecido na notacao dos numeros complexos. Existe um problema interessante, resolvido na Eureka Marcio PS: Na minha (modesta) opiniao, eh muito mais saudavel vc usar esse metodo numa prova do que usa-lo no rascunho e simplesmente escrever a resposta dizendo que dividiu o poligono em triangulos. ----- Original Message ----- From: "Bruno Lima" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, December 18, 2002 5:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos > Eu tambem conheco o tal macete, mas nunca consegui > justifica-lo. Me parce que ele só serve para poligonos > convexos. > > > --- Igor GomeZZ <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Em 18/12/2002, 09:09, Wagner ([EMAIL PROTECTED]) > > disse: > > > > > Ola para todos ! > > > > > De jeito nenhum! Nunca se deve colocar em uma > > dissertativa um > > > determinante de uma matriz não quadrada. > > > Você pode usar esse método no rascunho e dizer que > > dividiu o polígono em > > > triângulos e somou a área deles. > > > Outra coisa, explique melhor o macete pois ele não > > é tão conhecido. > > > > Blz Wagner, acabei de mandar a explicação... > > > > Vc faz parte de alguma banca de correção? (eh o > > Wagner dos livros da SBM?) > > > > Eu queria saber se existe alguma prova no curso > > superior, algo dentro de > > Algelin por exemplo... > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================