Wagner wrote:
Oi pessoal !
 
2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais.
 Prove que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem.
 
Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a  ;  f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais.
Se h(x) não possui raízes reais então :  36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
 
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac < 0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
 
Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2)/4a =>
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |(b^2 -4ac)/(4a)|
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)   ; f ' (x) =0 =>
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
O primeiro caso implica em x= -b/2a
 
 Isso eh falso. Se  p(x) = x^2 +3x+2,  a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre  -1  e  0.

 
 
----- Original Message -----
From: Eder
Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM

Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:
 
 
1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b² > = 2.
 
2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.
 
Grato pela ajuda.
 
Eder

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