> 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas > no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 > esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as > esferas.
"Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão." Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única. Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes, E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio, conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os 3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única. Abraços! ----------------------------------------------------------------- Outras pessoas já mandaram soluções mas acho que elas eram incompletas de modo que quero comentar mesmo assim. Uma possível posição para as 6 esferas é que seus centros ocupem os vértices de um octaedro regular: (+-c,0,0), (0,+-c,0), (0,0,+-c). Verificamos facilmente que a distância entre dois centros é 2R = c sqrt(2) donde c = sqrt(2) R. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). Os oito cubos são ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito que não. Em todo caso há pelo menos três respostas coerentes com o enunciado: (2+2 sqrt(2))R, 2 sqrt(2) R, (-2+2 sqrt(2))R. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================