Isto de fato e usar Stewart.

 larryp <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas:
 
1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e
2. Lei dos cossenos.
 
No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x.
 
Usando o teorema (1), teremos:
D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja:
AD = b*c/(a+c)    CD = a*b/(a+c)
 
E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja:
AE = b*c/(a+b)    BE = a*c/(a+b)
 
Agora o passo mais importante da demonstração:
Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já que que são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M.
 
Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC)
 
Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC)
 
Ou seja,
 
b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M
 
a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2 + 2*x*a*c/(a+b)*M
 
Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b:
 
a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M
 
b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2 + 2*x*a*b*c/(a+b)*M
 
E somamos as duas equações:
 
a*b*(a+b) = a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2
 
Dividindo por a+b:
 
a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2
 
Resolvendo para x^2:
 
x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ]
 
De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos:
 
x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ]
 
Ou seja,
 
b - b*c^2/(a+b)^2  =  c - b^2*c/(a+c)^2  ==>
 
b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ]
 
Suponhamos agora que b > c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente:
 
c/(a+b)^2 > b/(a+c)^2.
 
No entanto  b > c ==> a+b > a+c ==> (a+b)^2 > (a+c)^2 ==> 1/(a+c)^2 > 1/(a+b)^2 ==> b/(a+c)^2 > c/(a+b)^2 ==> CONTRADIÇÃO
 
Analogamente, se supusermos que b < c também cairemos em contradição.
 
A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles.
 
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM
Subject: [obm-l] Triângulos-continuação

Olá,

As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca, ainda não provada:

1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema);

2)  BD = CE (hip.);

3) BÂD = CÂE (comum);

4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC;

Obrigado,

Eduardo



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