On Fri, Jan 10, 2003 at 03:14:00PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote:
> Alguem poderia fazer a questão abaixo?????
>
> Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a
> combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou
> igual a y).Prove o somatório abaixo:
>
> C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +....C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1.
O bom é provar uma identidade bem mais geral:
C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m
que pode ser provada por indução em n. O caso n = 0 é trivial:
C_0,0 * F_m = F_0+m
e o caso n = 1 é fácil:
C_1,0 * F_m + C_1,1 * F_m+1 = F_m+2
Supondo o caso n temos
C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + C_n,2 * F_m+2 + ... + C_n,n * F_m+n
= F_2n+m
C_n,0 * F_m+1 + C_n,1 * F_m+2 + ... + C_n,n-1 * F_m+n + C_n,n *
F_m+n+1 = F_2n+m+1
e somando as duas equações casando do lado esquerdo termos
onde o F_* tem o mesmo índice
(na vertical para quem a minha diagramação funcionar)
temos
C_n+1,0 * F_m + C_n+1,1 * F_m+1 + C_n+1,2 * F_m+2 + ... + C_n+1,n * F_m+n + C_n+1,n+1
* F_m+n+1 = F_2n+m+2
que é o caso n+1.
[]s, N.
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