1º)  Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ...
 
Esse é o exemplo típico de série condicionalmente convergente. A soma dessa série, com essa ordenação é ln(2). Como a série dos valores absolutos de seus termos diverge (é a série harmônica), você pode reordenar estes termos de modo a obter qualquer soma, ou de modo a fazer a série reordenada divergir.
 
Suponhamos que você queira obter a soma "S". A maneira de proceder é a seguinte:
- Some os termos positivos em ordem até que a soma parcial seja > S
- Em seguida, some os termos negativos em ordem até que a soma parcial seja < S
- Em seguida, some os termos positivos (ainda não utilizados) até que a soma parcial seja , de novo, > S.
- E assim por diante, somando alternadamente termos positivos e negativos, de forma que a soma parcial fique oscilando em torno de S. Como lim(1/n) = lim(1/(n+1)) = 0, a sequência de somas parciais convergirá para S. 
 
Por exemplo, suponhamos que você queira ter S = 1.
1 + 1/3 = 4/3 > 1   ==> 1 + 1/3
4/3 - 1/2 = 5/6 < 1  ==>  - 1/2
5/6 + 1/5 = 31/30 > 1 ==>  + 1/5
31/30 - 1/4 = 47/60 < 1 ==>  - 1/4
47/60 + 1/7 + 1/9 = 1307/1260 < 1 ==> + 1/7 + 1/9
1307/1260 -1/6 = 1097/1260 < 1 ==> - 1/6
1097/1260 + 1/11 + 1/13 > 1 ==> + 1/11 + 1/13
 
Os 10 primeiros termos da série serão:
1 + 1/3 -1/2 + 1/5 -1/4 +1/7 + 1/9 -1/6 + 1/11 + 1/13 - ...
 
 
2º)  Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x Pertence a A e y pertence a B, com (x<=y). Prove que supA<=infB. Prove que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon>0 dado, podem-se obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon
 
Acho que a formulação correta deste problema é a seguinte:
Sejam A e B subconjuntos não vazios de R tais que para todo x em A e todo y em B vale x <= y.
Prove que supA <= infB.
 
Suponha que infB < supA.
Então existe z em R tal que infB < z < supA ==>
z não é cota inferior de B nem cota superior de A ==>
existem x em A e y em B tais que y < z < x  ==>
contradição ==> supA <= infB.
 
Suponha que supA = infB = a.
Seja eps > 0.
Então, a - eps/2 não é cota superior de A e a + eps/2 não é cota inferior de B ==>
existem x em A e y em B tais que a - eps/2 < x < a < y < a + eps/2 ==>
y - x < (a + eps/2) - (a - eps/2) = eps.
 
Suponha que para todo eps > 0, existem x em A e y em B tais que y - x < eps.
Sabemos que supA <= infB.
Suponha que a desigualdade é estrita (i.e., supA < infB).
Então existem reais a e b tais que supA < a < b < infB (por exemplo, tome a = (2supA + infB)/3 e b = (supA + 2infB)/3 ). Seja eps = b - a.
Então, teremos eps = b - a < infB - supA.
Por outro lado, como para todo x em A e todo y em B vale x <= supA < infB <= y, teremos, y - x >= infB - supA > eps ==>
contradição ==>
supA = infB
 
Um abraço,
Claudio. 
 
 
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, January 22, 2003 2:58 PM
Subject: [obm-l] En: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!

 
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, January 14, 2003 5:23 PM
Subject: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!

        Oi Pessoal estou com duas dúvidas(sobre quetões que encontrei no livro do Elon Lages-Análise Real) e gostaria de saber se alguém pode me ajudar:
 
1º)  Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ...
 
2º)  Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x Pertence a A e y pertence a B, com (x<=y). Prove que supA<=infB. Prove que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon>0 dado, podem-se obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon

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