Caro Paulo e demais colegas da lista: Sobre a soma de 1/(an+b)^2, eu gostaria de saber se é sempre algum múltiplo racional (ou pelo menos algébrico) de Pi^2 e, em caso afirmativo, qual o seu valor.
Quanto à sua questão: NIC(1,1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = Ln(2) e 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 = Pi^2/6 = 1/6 * (Pi/Ln(2))^2 * NIC(1,1)^2 Ou seja, K = 1/6 * (Pi/Ln(2))^2, o que não tem cara de ser algébrico (muito menos racional). Por outro lado: NIC(1,2) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = Pi/4 e 1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 = Pi^2/8 = 2 * (Pi/4)^2 = 2 * NIC(1,2)^2 ==> K = 2 !!! Vale a mesma pergunta, com NIC(X,Y) no lugar de Pi^2. Vou precisar pensar mais na questão da relação entre o triângulo de Pascal(K,L) e o Harmônico(K,L). Já localizei o livro Matemática Quântica - vou dar uma lida - mas, de qualquer forma, acho pouco provável (pra ser bem otimista!!!) que eu chegue a alguma conclusão sobre os zeros complexos de Z(r) = SOMA 1/n^r, especialmente aqueles com parte real entre 0 e 1. Em particular que todos têm parte real = 1/2. De qualquer forma, US$ 1 milhão mais uma Fields Medal viriam bem a calhar.... De qualquer forma, também acho que tudo isso é muito interessante e não ligo a mínima pra aplicações práticas. Mudando um pouco de assunto, eu achei uma demonstração razoavelmente elementar de que Z(3) = SOMA 1/n^3 é irracional. Uma boa pergunta é: Z(3) é um múltiplo racional ou algébrico de Pi^3 ? Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, January 27, 2003 6:50 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, A ultima pergunta e simples, em determinado sentido ... Use o MAPLE e voce vera a soma para qualquer "1/(an+b)^2". Mas o MAPLE faz as coisas ao modo dele, insatisfatorio em certo sentido ... Por muitas razoes, eu precisei investigar as series da forma : NIC(a,r)= 1/a - 1/(a+r) + 1/(a+2r) - 1/(a+3r) + ... Num certo sentido estas series sao "primitivas", vale dizer, supomos que a funcao NIC : R^2 -> R ( NIC nao existe na literatura, eu fui obrigado a reconhecer sua importancia ) esta bem definida e vemos o que se pode produzir de interessante com elas. Claramente que a serie : 1/a + 1/(a+r) + 1/(a+2r) + 1/(a+3r) + ... smepre diverge ! Mas a serie : 1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... sempre converge ! Que relacao existe entre o valor para o qual esta serie converge e NIC ? Existe X e Y tais que : 1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... = K*(NIC(X,Y))^2 ? Para algum K real ? Claramente que existe alguns reordenamentos evidentes ... ( 1/a - 1/(a+r) ) + ( 1/(a+2r) - 1/(a+3r) ) + ... NIC serve para caracterizar uma classe de triangulos aritmeticos, conhecidos como triangulos harmonicos. O exemplo mais simples serie : 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/3 1/4 1/12 1/12 1/4 ... Cada termo e a diferenca entre o que esta "acima a esquerda" e o que esta "a esquerda". As colunas sao numeradas da esquerda para a direita a partir de -1. O 1/2 da coluna -2 e tal que : 1/2 = 1 - 1/2. E assim para todos os termos ... Se voce tomar uma coluna qualquer "desde o infinito" ate um determinado termo, a soma e o termo da esquerda : e o teorema das colunas do triangulo de pascal estendido a este tipo de triangulo ... Este triangulo e conhecido tambem como triangulo de Leibniz. Todo triangulo harmonico tem um numero que o caracteriza univocamente e que e um valor de NIC. Em particular, no triangulo de Leibniz este valor de NIC e Ln(2) ..., isto e, NIC(1,1) Um outro triangulo harmonico teria um outro valor para NIC. Pode-se dizer que os triangulos harmonicos sao extensoes dos triangulos aritmeticos tipo triangulo de pascal. Eles sao como as colunas negativas deste triangulo ... Considere a relacao de recorrencia : ("n" e a coluna, "p" a linha ) A00 = 1 An,p = An-1,p-1 + An,p-1 n em {0,1,2,...} e p em {0,1,...,n} Fixado sucessivamente "n", varie "p". Voce vai obter o triangulo de pascal. Para outros valores de A00 e outras relacoes de recorrencia da forma An,p= K*An-1,p-1 + L*An,p-1 voce obetera outros triangulos aritmeticos "tipo pascal". Observe que no triangulo de pascal K=L=1. Existe alguma relacao entre K e L e o trianngulo harmonico correspondente, isto e, entre K, L que definem um triangulo "tipo pascal" e NIC(K,L), que caracteriza um triangulo harmonico ? Neste momento e imperioso que se perceba o seguinte : No triangulo de Pascal quando nos olhamos para o N,P em Binom(N,P) nos quase inadvertidamente imaginamos em "combinacoes de N elementos tomados P a P". Mas, isto, e ... UMA INTERPRETACAO : nao e A INTERPRETACAO. o Professor NIColau deixa claro isso em seu livro sobre MATEMATICA QUANTICA. La ele diz claramente que podemos, sem receios, dar outras interpretacoes aos numeros binomias, que representariam outras formas de contagem ( as q-contagem ), vale dizer, indices. A interpretacao que damos e, assim, uma contagem particular, nao A CONTAGEM, A UNICA POSSIVEL ! Isto posto, a relacao de recorrencia implica claramente que estamos vemos os N, P em BINOM(N,P) como LOCALIZACOES ou LUGARES em alguma estrutura mais ampla, ou, o que da no mesmo, os valores de uma funcao definida em R^2. Isto e muito bom, por diversas razoes ... Seja r um real positivo. A funcao : Z(r)=1/N^r, N={1,2,...} converge se r>1. r=2 e um caso particular de Z(r)=1/N^r. Uma compreenssao destas coisas por este caminho pode abrir uma vertente nova na abordagem deste fato para "r" complexo, em particular, para os zeros desta funcao ... Observe que esta e uma abordagem "por dentro", vale dizer, "por fora", partindo diretamente de "r" complexo, muita gente ja tentou e nao teve sucesso. Isso pode ser mais uma abordagem que sera mal-sucedida. Mas ... pode ser ! Ate esclarecer estas coisas nos nao podemos advinhar o que vai acontecer ! Francamente eu acho tudo isso interessante independente de uma orientacao pratica qualquer, independente de qualquer novo resultado. Isso e interessante simplesmente porque eu tenho certeza que algo misterioso e profundo esta no fim deste arco-iris ... Um abraco Paulo Santa Rita 2,1849,270103 >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Somas de séries >Date: Mon, 27 Jan 2003 16:25:23 -0200 > >Caro Paulo Santa Rita: > >Bem interessante essa questão da relação entre: > >R = SOMA A(n) e S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n). > >onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A <> 0. > >Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação deve ser >extremamente não-trivial. > >Qual bibliografia você recomenda? > >Em particular, você conhece alguma fórmula para R e S quando: >A(n) = 1 / (an + b)^2, com a e b inteiros? > >Um abraço, >Claudio. > >********************* > >Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo >Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge. >Converge pra onde ? Isso vai depender da PA. No seu caso : > >1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2) > >Outro caso bem conhecido e : > >S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4 > >E uma relacao bem conhecida e que : > >1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2). >A serie acima e o valor da funcao zeta em 2. > >Note que a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que >1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para >qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que : > >A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ... > >Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o >Teorema de Leibniz a que me referi acima. > >Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus >termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2 >fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que >( K e S dados ) : > >1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i >2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S. > >A serie abaixo converge para que numero real ? : > >A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ... > >Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema >resolvido apenas parcialmente pelo Euler. > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================