Caro Paulo:

A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros "p", para os
quais existe um inteiro positivo "n" tal que:

n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p  ==>
n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p

No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 <==> n = 1. Será que eu
errei em algum lugar?

E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4):

CASO 1: n é ímpar
n é ímpar  ==>  n+1 é par e n+2 é ímpar.

Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y   e   n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y)
com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p

(n+1)^2 é quadrado ==> p+2 é par, x = 0 e y é par

p+2 é par ==> p é par ==> p = 2q
y é par ==> y = 2z ==> p-y = 2q-2z

Assim:  n+1 = 2^(q+1) * 5^z    e   n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z)

Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1:

Sub-caso 1: 5 | n+1
5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1  ==>  z = q  ==>
n+1 = 2^(q+1) * 5^q   e   n*(n+2) = 3  ==> n = 1 ==> q = 0 ==> p = 0

Sub-caso 2: 5 não | n+1
5 não | n+1 ==> (5,n+1) = 1  ==> z = 0  ==>
n+1 = 2^(q+1)   e   n*(n+2) = 3 * 5^(2q)  ==>
n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1  ==>  n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 *
^(2q)  -  1  ==>
3 * 5^(2q)  =  4 * 2^(2q) - 1  ==>  4 * 2^(2q)  -  3 * 5^(2q)  = 1  ==>  q =
0   ==>
n+1 = 2  e  n*(n+2) = 3  ==> n = 1 ==> p = 0


CASO 2: n = 0 (mod 4)
n = 0 (mod 4)  ==>  n+1 é ímpar  e  n+2 = 2 (mod 4)  ==>

(n+1)^2 = 3^x * 5^y   e    n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y)
com 0 <= x <= 1  e  0 <= y <= p

(n+1)^2 é quadrado  ==>  x = 0  e  y = 2z  ==>
n+1 = 5^z   e   n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z)

Sub-Caso 1: 5 | n+1
5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3

Sub-Caso 1.1: 5 | n+1  e  3 | n
3 | n ==>  (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2^(p+1) * 3   e   n+2 = 2  ==> XXX

Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n
3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2^(p+1)   e   n+2 = 2*3 = 6  ==> Q(n) = 196 <>
10^p  ==> XXX

Sub-Caso 2: 5 não | n+1
5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX


CASO 3: n = 2 (mod 4)
n = 2 (mod 4)  ==>  n+1 é ímpar  e  n+2 = 0 (mod 4)  ==>

(n+1)^2 = 3^x * 5^y   e    n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y)
com 0 <= x <= 1  e  0 <= y <= p

(n+1)^2 é quadrado  ==>  x = 0  e  y = 2z  ==>
n+1 = 5^z   e   n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z)

Sub-Caso 1: 5 | n+1
5 | n+1  ==>  (5,n) = (5,n+2) = 1  ==>  n*(n+2) = 2^(p+2) * 3

Sub-Caso 1.1: 5 | n+1  e  3 | n
3 | n  ==>  (3,n+1) = (3,n+2) = 1  ==>  n = 2*3 = 6  ==>  Q(n) = 196 <> 10^p
==> XXX

Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1  e  3 não | n
3 não | n  ==>  3 | n+1  ==>  n = 2  ==>  Q(n) = 6 <> 10^p ==> XXX

Sub-Caso 2: 5 não | n+1
5 não | n+1  ==>  n+1 = 1  ==>  XXX

**************

Um abraço,
Claudio.


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