Caro Marcos Reynaldo:

Seguem abaixo minhas soluções para os dois problemas.

> "No planejamento de uma lanchonete estimou-se que se
> existem lugares para até 80 pessoas o rendimento
> semanal será de R$ 700,00 por assento. Entretanto,
> caso o número de assentos estiver acima de 80, o
> rendimento semanal de cada assento será reduzido em R$
> 5,00 por cada assento que exceder os 80. Quantos
> assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o
> máximo rendimento semanal ? Qual é o seu rendimento
> máximo ?"
>
Rendimento Semanal por Assento = R(n)

n <= 80  ==>  R(n) = 700
n >= 81  ==>  R(n) = 700 - 5*(n-80) = 1.100 - 5*n

Rendimento Semanal Total = T(n) = n*R(n)

n <= 80  ==>  T(n) = 700*n
n >= 81  ==>  T(n) = 1.100*n - 5*n^2

se n<= 80, T será máximo para n = 80   (Tmax = 56.000)
se n >= 81, T será máximo para n = 110   (Tmax = 60.500)

Logo, a lanchonete deverá comportar 110 assentos, para um rendimento máximo
com lotação total igual a R$ 60.500 / semana.

**************

> E neste outro problema: (minha dificuldade aqui é
> entender o que o problema entende por ângulo de
> elevação do avião. Já tentei resolver de várias
> maneiras mas não consigo chegar aos 69,8 km/h que é a
> resposta).
>
> "Um avião a uma altitude de 3.000m voa em velocidade
> constante segundo uma reta que o levará a passar
> diretamente acima de um observador no solo. Se, em
> dado instante, o observador nota que o ângulo de
> elevação do avião é de 60 graus e está aumentando à
> razão de 1 grau por segundo, determine a velocidade do
> avião."
>
Normalmente, ângulo de elevação é o ângulo que a reta que liga o observador
ao avião faz com a horizontal.

Sejam:
H = altura do avião = 3.000 m;
X = distância horizontal entre o avião e o ponto diretamente acima do
observador (a uma altura H);
Theta = ângulo de elevação.

Temos que: H/X = tg(Theta) ==> X = H*ctg(Theta) = 3.000*ctg(Theta)  ==>
dX/dt = -3.000/sen^2(Theta) * d(Theta)/dt

MUITO IMPORTANTE: Ao calcular derivadas de funções trigonométricas, é
fundamental converter as unidades de graus para radianos.

Quando Theta = 60 graus = Pi/3 radianos, d(Theta)/dt = 1 grau/seg  =
0,017453293 rad/seg==>
dX/dt = -3.000/sen^2(Pi/3) * 0,017453293 = -3.000/(3/4) * 0,017453293
= -69,81 m/s

Logo, V(avião) é 69,81 m/s, aproximando-se do observador  (ou seja X está
diminuindo, o que explica o sinal negativo).

Um abraço,
Claudio.

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