2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.
Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade". Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das 201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas, sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o mesmo sexo. 3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados de lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o problema está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos em casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste caso é inferior a sqrt(4.5) -----Original Message----- From: Paulo Santa Rita [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Tres belos problemas Ola Pessoal, Seguem abaixo tres problemas : 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo, a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior que 7/2 ? 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. 3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 3,1455,110203 _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
