Para o problema: seja A(1) = a e A(n + 1) = a^A(n) para n >= 1, provar que para todo inteiro a > 1 os últimos 1000 dígitos da série A(1), A(2), ... eventualmente se mantém fixos.
seja a tal que mdc(a, 10) = 1 => mdc(a, 10^n) = 1 para todo n >= 0 sendo phi a função de Euler, phi(10^n) = 4.10^(n-1) suponha que exista um inteiro n tal que A(n) = A(n + 1) (mod 10^1002) A(n+1) = q.10^1002 + A(n) para algum q inteiro A(n+2) = a^A(n+1) = a^[q.10^1002 + A(n)] mas phi(10^1001) = 4*10^1000 e 10^1002 é um múltiplo desse número, logo pelo teorema de Euler, temos que a^(10^1002.q) = [a^(10^1002)]^q = 1^q = 1 (mod 10^1001) portanto: (1) A(n+2) = 1.a^A(n) = A(n+1) (mod 10^1001) temos também que: A(n+2) = [a^(10^1002q)] * A(n+1) se q é par phi(10^1002) divide 10^1002q e logo A(n+2) = A(n+1) (mod 10^1002) logo, se A(n+2) != A(n+1) (mod 10^1002) temos que ter q = 2k + 1 para algum k, logo: A(n+2) = [a^(10^1002)] * A(n+1) (mod 10^1002) elevando ambos ao quadrado, temos A(n+2)² = [a^(10^1002)]² * A(n+1)² (mod 10^1002) A(n+2)² = A(n+1)² (mod 10^1002) onde saí: A(n+2) = A(n+1) ou A(n+2) + A(n+1) = 0 (mod 10^1002) essa conta pode ser feita pois como mdc(a, 10^2002) = 1 as potências de a pertencem a um grupo multiplicativo mod 10^2002. nos interessa analisar o caso A(n+2) + A(n+1) = 0, como vimos no item (1), os últimos 1001 dígitos de A(n+2) e A(n+1) são iguais, sendo assim: se A(n+2) = A(n+1) = x (mod 10^1001) com x < 10^1001, e u, v forem os 1002º dígitos de A(n+2) e A(n+1) respectivamente, temos: (u + v)*10^1001 + 2x = 0 (mod 10^1002) ou seja, existe um m tal que: (u + v)*10^1001 + 2x = m.10^1002 2x = 10^1001*(10m - u - v) (2) .... x = 5^1001*(10m - u - v) ops! x = 0 (mod 10^1000) :-) sendo assim eu não preciso fazer mais nada, os próximos termos da seqüência com certeza terão os 1000 últimos dígitos todos zeros!!! de (1) e (2) temos que a seqüência vai repetir os últimos 1002 dígitos sempre a partir de n ou então é garantido que os últimos 1000 dígitos fixam-se em 0. Para o caso mdc(a, 10) = 1, basta então provarmos que existe n tal que A(n+1) = A(n) (mod 10^1002) teremos provado que os 1000 últimos dígitos eventualmente são fixados... Será que só eu estou me "divertindo"? Ou as demonstrações estão confusas demais? [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
