Tu de novo Claudio!!!!!!!Esse ultimo e da IMO da Coreia e a soluçao do Fabricio(que
fez a prova alias)e muito legal.Tente uma induçao e pense primeiro que asw
caixas sao iguais depois faça vezes tres.
Vou supor que esta coisa de tres angulos e dita em graus.
Talvez saia com SLC:a^2=b^2+c^2-2bc*cos A.
A tarefa e achar os t tais que cos t e racional se t e expresso em graus.
Talvez saia usando complexos.Me lembro de uma prova de que arccos 3/5 e
irracional se dito em graus que usava uns fatos do artigo do Ed na Eureka
6.As Eurekas ce ve na Internet.
-- Mensagem original --
>HelpCaros colegas da lista:
>
>Muitas vezes um problema é proposto na lista, nenhuma solução é dada nos
>dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento. Assim, resolvi fazer
>uma compilação (temo que incompleta) daqueles problemas da lista que ficaram
>sem solução.
>
>1. Seja
>A = | A1 |
> | A2 |
>uma matriz m x n com A1 n x n não singular e A2 uma matriz (m-n) x n arbitrária
>
>A+ é a pseudo-inversa de A, definida como
>A+ = (A' * A)^(-1) * A'
>
>prove que ||A+|| <= ||(A1)^(-1)||
>
>OBS: A norma aqui é induzida:
> ||A|| = sup ||Ax||
> ||x|| = 1
>
>*********
>
>2. É possível que um polinômio de coeficientes inteiros P(X) irredutível
>se fatore em Z/(n) para todo n natural ?
>
>
>*********
>
>3. A e B são cantos opostos de um tabuleiro n x n, dividido em n^2
>quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho é
>traçada sua diagonal paralela a AB, tal que o tabuleiro fica dividido
em
>
>2n^2 triângulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que são vértices dos
>
>quadrinhos e um qrande número de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2.
>
>Uma peça move-se de A até B através dos segmentos. Ela nunca passa duas
>vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de
cada
>
>triângulinho. Para qual n isto é possível?
>
>*********
>
>4.
>A) As medidas dos ângulos agudos de um triângulo pitagórico (triângulo
retângulo
>cujos lados têm medida inteira) não são inteiras (quando expressos em graus).
>
>B) Se os lados de um triângulo têm medida inteira e um de seus ângulos
tem
>medida inteira, então esse ângulo mede 60, 90 ou 120 graus.
>
>C) Se um triângulo tem os três lados e os três ângulos com medida inteira
>então ele é equilátero.
>
>*********
>
>5. Nos festejos juninos, 20 casais de dançarinos são colocados em círculo
>de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par estão situados
diametralmente
>opostos. Durante a dança, dois dançarinos adjacentes trocam de lugar enquanto
>todos os outros permanecem na mesma posição. Essa mudança é repetida com
>pares adjacentes até que, na posição final, os dois dançarinos de cada
par
>estejam novamente diametralmente opostos, mas na posição contrária da inicial.
>Então o número mínimo de mudanças, de dois dançarinos adjacentes, para
acontecer
>isso é:
>
>(a) 20! (b) 400 (c) 10! (d) 19! (e) 20
>
>*************
>
>6. Dê um exemplo de uma sequência (Xn) de números reais tal que:
>
>lim ( Xn / n^t ) = 0 para todo t > 0
>e
>lim ( [log(n)]^k / Xn ) = 0 para todo k > 0
>
>*********
>
>7. Um triângulo tem lados com medida inteira e área racional. Prove que
uma
>de suas alturas tem medida inteira e que o pé desta altura está a uma distância
>inteira dos vértices do triângulo.
>
>*********
>
>8. Um polígono convexo possui 2n lados. Prove que o polígono contém no
>mínimo n diagonais que não são paralelas a qualquer de seus lados.
>
>*********
>
>9. Seja K um inteiro >= 2.
> infinito
>Seja S = SOMATÓRIO 1 / K^(n^2) = 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ...
> n = 1
>Prove que S é irracional.
>
>*********
>
>10. Um mágico tem cem cartões numerados de 1 a 100.
>Coloca-os em três caixas, uma vermelha, uma branca e
>uma azul, de modo que cada caixa contém pelo menos um
>cartão.
>Uma pessoa da platéia escolhe duas das três caixas,
>seleciona um cartão de cada caixa e anuncia a soma dos
>números dos dois cartões que escolheu. Ao saber esta
>soma, o mágico identifica a caixa da qual não se
>retirou nenhum cartão.
>Descreva todas as maneiras de se colocar todos os
>cartões nas caixas de modo de que este truque sempre
>funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se
>pelo menos um cartão é colocado numa caixa diferente).
>
>Uma formulação equivalente deste problema é:
>Determine todas as partições do conjunto:
>{1, 2, ..., 100}
>em três subconjuntos V, B e A, de forma que:
>V+B, V+A e B+A sejam disjuntos
>(V+B = {x + y tais que x pertence a V e y pertence a B}, idem para os outros
>dois conjuntos-soma )
>
>Por enquanto só foram encontradas duas soluções:
>V = {1, 4, 7, ..., 100} = {3k + 1}
>B = {2, 5, 8, ..., 98} = {3k + 2}
>A = {3, 6, 9, ..., 99} = {3k}
>(além das outras 5 permutações de V, B e A}
>
>e
>
>V = {1}
>B = {100}
>A = {2, 3, ..., 99}
>(também já se provou que esta é a única partição - a menos de permutações
>dos conjuntos - que tem dois conjuntos unitários)
>
>************
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