Para os que curtem alguns fundamentos topol�gicos , sugiro os seguintes problemas. Definamos x como ponto de condensa��o de um subconjunto E de R^n se qualquer vizinhan�a V de x contiver um n�mero incont�vel de elementos de E (isto �, se V inter E n�o for numer�vel). Seja P o conjunto dos pontos de condensa��o de E. Mostre que
1) E � numer�vel se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta automaticamente que E n�o � numer�vel sse P n�o for vazio) 2) O conjunto dos elementos de E que n�o s�o pontos de condensa��o do mesmo (E inter complementar de P) � numer�vel 3) P � perfeito (� fechado e todos seus elementos s�o pontos de acumula��o do mesmo). Na realidade, todo elemento de P � ponto de condensa��o do mesmo . 4)Todo elemento de P � ponto de condensa��o de E inter P 5) O fecho de E inter P � o pr�prio P 6) Todo conjunto fechado � dado pela uni�o disjunta de um conjunto perfeito com um conjunto numer�vel (podendo ser que um destes conjuntos seja vazio) Estew � o Teorema de Cantor-Bendixon Estas 5 afirma��es valem, na realidade, em qualquer espa�o m�trico separ�vel Para demonstrarmos as afirma��es, observemos que todo conjunto aberto de R^n pode ser dado por uma uni�o numer�vel de bolas abertas. A cole��o das bolas abertas de centro em elementos com coordenadas racionais e raios racionais � uma base numer�vel de R^n. Um abra�o para todos Artur ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
