Caro Goiamum: Segue abaixo uma demonstracao de que f eh uma bijecao usando apenas algebra elementar:
f(x) = (2x - s)/[x(s - x)] ==> f(x) = 1/(s-x) - 1/x A injetividade de f eh consequencia de (i) abaixo e a sobrejetividade eh consequencia de (ii) e (iii): i) Se 0 < a < b < s entao f(a) < f(b). Dem: 0 < a < b < s ==> 0 < s - b < s - a < s e 0 < 1/s < 1/b < 1/a ==> 1/(s-a) < 1/(s-b) e -1/a < -1/b ==> 1/(s-a) - 1/a < 1/(s-b) - 1/b ==> f(a) < f(b) ----- ii) Se x = s/2 entao f(x) = 0. Dem: �bvia ----- iii) Dado y real n�o-nulo, definimos x como sendo: x = s/2 - 1/y + raiz(s^2/4 + 1/y^2) se y > 0 e x = s/2 - 1/y - raiz(s^2/4 + 1/y^2) se y < 0. Ent�o: 0 < x < s e f(x) = y. Dem: s > 0 e y <> 0 ==> s/2 + 1/|y| > raiz(s^2/4 + 1/y^2) > max( s/2 , 1/|y| ) Assim: y > 0 ==> |y| = y ==> x = raiz(s^2/4 + 1/y^2) + s/2 - 1/|y| > 0 s - x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s y < 0 ==> |y| = -y ==> x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 s - x = s/2 - 1/|y| + raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s Alem disso, temos: x - (s/2 - 1/y) = +/- raiz(s^2/4 + 1/y^2) ==> (x - (s/2 - 1/y))^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==> x^2 - 2x(s/2 - 1/y) + s^2/4 - s/y + 1/y^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==> x^2 - xs + 2x/y - s/y = 0 ==> (2x - s)/y = xs - x^2 ==> y = (2x - s)/(xs - x^2) ==> y = (2x - s)/[x(s - x)] ==> y = f(x) ----- Um abraco, Claudio. > ----- Original Message ----- > From: "goiamum" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Wednesday, March 26, 2003 2:14 PM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstra��o de fun��o bijetora (corrigindo) > > >> Primeiramente, obrigado Carlos por responder a quest�o. >> O problema � que ainda curso o ensino m�dio, e n�o >> conhe�o os conceitos de derivada. Na verdade, eu tenho a >> resolu��o dessa quest�o, mas n�o entendi alguns pontos >> sobre a verifica��o da sobreje��o. Estou mandando >> novamente a pergunta, sua respectiva resposta (relativa >> a sobreje��o) e minha d�vida. Fico grato se alguem me >> exclarecer. >> >> Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0) >> do seguinte modo: F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] � uma >> fun��o bijetora desse intervalo nos reais. >> >> "Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s) >> + 1/x. >> >> 1. Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)], resulta: >> y(xs - x^2) = 2x - s -> yx^2 + (2 - ys)x - s = 0. >> >> Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem: >> >> a � g(0) = y(-s) >> a � g(s) = y(s) >> -> ag(0) e ag(s) t�m sinais opostos -> existe um x� >> tal que y = (2x� - s)/[x�(s - x�)] >> ent�o f � sobrejetora." >> >> (D�VIDA) Por que g(0) e g(s) s�o multiplicados por a. >> N�o entendi a conclus�o, ou seja, por que ela � >> sobrejetora? >> >> obrigado pela aten��o. >> Ass: Marcelo Paiva >> >> >> __________________________________________________________________________ >> E-mail Premium BOL >> Antiv�rus, anti-spam e at� 100 MB de espa�o. Assine j�! >> http://email.bol.com.br/ >> >> >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >> ========================================================================= > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
