Por favor, alguém poe dar-me uma mãozinha?Caro Carlos:
Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.
Muito grato, Carlos A. Gomes
Eu consegui provar que bastam 10 moedas - tambem dispostas formando um triangulo equilatero.
Infelizmente, a demonstracao nao usa nenhuma "sacada brilhante", mas consiste apenas de uma analise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas. Se voce estiver com saco para acompanhar o raciocinio ate o final, eu recomendo fortemente o uso de papel e lapis...
Considere a seguinte disposicao das moedas:
(01)
(02) (03)
(04) (05) (06)
(07) (08) (09) (10)
Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, entao acabou.
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Caso contrario, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) eh preta e (07) e (10) sao brancas.
Se (02) e (03) forem ambas pretas, entao (01), (02) e (03) serao pretas ==>
acabou
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Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca.
Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte:
A) (02) eh branca;
B) (02) eh preta.
(o caso em que (02) eh branca e (03) eh preta sera a imagem especular do caso em que (02) eh preta e (03) branca)
A) (02) eh branca:
Se (08) ou (09) for branca, entao (02), (07) e (09) serao brancas ou (03), (08) e (10) serao brancas ==>
acabou
Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas.
Nesse caso, se (05) for branca, entao (02), (03) e (05) serao brancas ==>
acabou
Por outro lado, se (05) for preta, entao (05), (08) e (09) serao pretas ==>
acabou
Assim, se (02) for branca, sempre havera um triangulo monocromatico.
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B) (02) eh preta:
Se (08) for branca, entao (03), (08) e (10) serao brancas ==>
acabou
Suponhamos que (08) seja preta.
Se (06) for preta, entao (02), (06) e (08) serao pretas ==>
acabou
Suponhamos que (06) seja branca.
Se (05) for branca, entao (03), (05) e (06) serao brancas ==>
acabou
Suponhamos que (05) seja preta.
Se (09) for branca, entao (06), (09) e (10) serao brancas ==>
acabou
Por outro lado, se (09) for preta, entao (05), (08) e (09) serao pretas ==>
acabou.
Portanto, no caso em que (02) eh preta tambem estara assegurada a existencia de um triangulo monocromatico.
Um abraco,
Claudio.