Esse e o Helder Toshiro que conhe�o!!!!!!!So devo dizer uma coisa:esse resultado nao e rigoroso,e a demonstra�ao "real" disso ai consiste em considerar os pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente 2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos. A densidade desse conjunto seria o porcentual de espa�o que ele ocupa em rela�ao aos outros.Demonstrando que a densidade e 6/(pi)� acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpreta�ao.
-- Mensagem original -- >on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Se dois n�meros naturais e distintos s�o escolhidos >> aleatoriamente, prove que a chance de esses n�meros >> n�o terem nenhum fator em comum � 6/pi^2? >> > >Caro Helder: > >Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido. > >Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade de >A >e B serem ambos multiplos de p. > >Assim, P(p) = 1/p^2 e >1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator primo >p >em comum. > >A partir disso, concluimos que: >P(A e B primos entre si) = > >(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... = > >PRODUTORIO (1 - P(p)) = > p primo > >PRODUTORIO (1 - 1/p^2) > p primo > >Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo < 1), teremos: >1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... ) > >Assim, >PRODUTORIO (1 - 1/p^2) = > p primo > >= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) > p primo > >Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a: >infinito >SOMATORIO 1/n^2 > n = 1 > >pois se a decomposicao de n em fatores primos eh: > >n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao: > >1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak) > >e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) > p primo > >Alem disso, o valor de: >infinito >SOMATORIO 1/n^2 > n = 1 >eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por >exemplo) > >Logo, >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6 > p primo > >e, portanto, >P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2. > > >Um abraco, >Claudio. > > > > > > > > > > > >========================================================================= >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
