Quer saber?Pegue o Introduction to Analytic Number Theory do Tom M.Apostol -- Mensagem original --
>Oi, JP e Helder: > >Mas n�o � verdade que o ponto (m,n) � vis�vel a partir da origem se e >somente se mdc(m,n) = 1? > >Depois, como voc� define densidade do conjunto de pontos vis�veis? >Eu acho que tem que ser o limite de algum quociente do tipo: >#(pontos vis�veis pertencentes a um conjunto A) / #(pontos de A) >onde A � algo como um disco contendo a origem e cujo raio tende a infinito. >Ou seja, bem parecido com a defini��o de probabilidade como o limite de uma >frequ�ncia relativa. > >Assim, eu acho que se a interpreta��o probabil�stica n�o for rigorosa, a >interpreta��o como densidade tamb�m n�o ser�. > >Ser� que algu�m na lista pode formalizar este problema? > >Um abra�o, >Claudio. > > >----- Original Message ----- >From: <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Thursday, March 27, 2003 1:14 PM >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2 > > >> Esse e o Helder Toshiro que conhe�o!!!!!!!So devo dizer uma coisa:esse >resultado >> nao e rigoroso,e a demonstra�ao "real" disso ai consiste em considerar >os >> pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente >> 2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si >> quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos. >> A densidade desse conjunto seria o porcentual de espa�o que ele ocupa em >> rela�ao aos outros.Demonstrando que a densidade e >> 6/(pi)� acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpreta�ao. >> >> -- Mensagem original -- >> >> >on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> > >> >> Se dois n�meros naturais e distintos s�o escolhidos >> >> aleatoriamente, prove que a chance de esses n�meros >> >> n�o terem nenhum fator em comum � 6/pi^2? >> >> >> > >> >Caro Helder: >> > >> >Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido. >> > >> >Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade >> de >> >A >> >e B serem ambos multiplos de p. >> > >> >Assim, P(p) = 1/p^2 e >> >1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator >primo >> >p >> >em comum. >> > >> >A partir disso, concluimos que: >> >P(A e B primos entre si) = >> > >> >(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... = >> > >> >PRODUTORIO (1 - P(p)) = >> > p primo >> > >> >PRODUTORIO (1 - 1/p^2) >> > p primo >> > >> >Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo < 1), >teremos: >> >1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... ) >> > >> >Assim, >> >PRODUTORIO (1 - 1/p^2) = >> > p primo >> > >> >= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) >> > p primo >> > >> >Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a: >> >infinito >> >SOMATORIO 1/n^2 >> > n = 1 >> > >> >pois se a decomposicao de n em fatores primos eh: >> > >> >n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao: >> > >> >1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak) >> > >> >e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de >> >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) >> > p primo >> > >> >Alem disso, o valor de: >> >infinito >> >SOMATORIO 1/n^2 >> > n = 1 >> >eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por >> >exemplo) >> > >> >Logo, >> >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6 >> > p primo >> > >> >e, portanto, >> >P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2. >> > >> > >> >Um abraco, >> >Claudio. >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> >========================================================================= >> >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >> >========================================================================= >> > >> >> TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE >> >> >> ------------------------------------------ >> Use o melhor sistema de busca da Internet >> Radar UOL - http://www.radaruol.com.br >> >> >> >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >> ========================================================================= > >========================================================================= >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
