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From: "Ricardo Prins" <[EMAIL PROTECTED]>
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Sent: Friday, June 06, 2003 11:45 AM
Subject: Re: [obm-l] problema


> Muito obrigado a todos vocês! Ontem eu acabei achando na Eureka 5 muitas
> coisas interessantes quanto à desigualdades em geral...preciso estudar
mais!
> aqui vai outro problema que eu não consegui resolver...é do lidski...
>
> uma sucessão infinita de números x1,x2,x3,...,xn,... (x1<>0) para qualquer
> n>=3 satisfaz à condição
> (x1²+x2²+....+xn-1²)(x2²+x3³+...+xn²)=(x1x2+x2x3+...+xn-1xn)²
>
> demonstrar que x1,x2,x3,...,xn,... são termos sucessivos de uma p.g.


Oi, Ricardo:

Aqui temos que provar que existe um no. real q tal que:
x(2) = q*x(1),  x(3) = q*x(2),  ..., x(n) = q*x(n-1),  ...

Uma idéia é usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz relativa ao produto
escalar de 2 vetores do R^m.

Ela diz o seguinte:
Se x e y são vetores do R^m, então | x . y |^2 <= || x ||^2 * || y ||^2, com
igualdade sss x e y são LI
onde:
x . y = produto escalar de x e y
| x . y | = módulo do número real  x . y
|| x || = módulo do vetor x = raiz(x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(m)^2)

A expressão do enunciado é justamente | x . y |^2 = || x ||^2 * || y ||^2
com:
x = ( x(1) , x(2) , ... , x(n-1) ) e y = ( x(2) , x(3) , ... , x(n) ):
vetores do R^(n-1).

Logo, concluímos que x e y são LI  ==>
existe um no. real q tal que y = qx  ==>
x(2) = q*x(1), x(3) = q*x(2), ..., x(n) = q*x(n-1) ==>
os x(k) são termos de uma PG.

Esse artigo da Eureka 5 tem uma demonstração de Cauchy-Schwarz (lá é chamada
apensa de Cauchy - é a proposição no. 3).

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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