Caro Duda, O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e' definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2 (note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)). Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1 tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n). Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). Eu acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais trabalho. Abracos, Gugu
> >Caros colegas da lista, > >tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O >segundo é sobre polinômios. Lá vão eles: > >Problema 1. O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática, >deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou >seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois >estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares. >Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que >partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons >resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais >natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre >estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de >estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão >finita. > >A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato, >pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de >características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.), >se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí >retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua >num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande >visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na >minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica >que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino >ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata >dessas experiências? > >Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de >saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que >podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles >podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo? > >Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de >fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o >máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta >simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo. > >Um Abraço a todos, >Duda. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================