----- Original Message ----- From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, May 28, 2003 2:59 PM Subject: [obm-l] equa��es
> Considere as equa��es > x^2 + bx + c = 0 > x^2 + b'x + c' = 0 > > onde b, c, b' e c' s�o inteiros tais que: > (b - b')^2 + (c - c')^2 > 0 > > Se as equa��es possuem uma raiz comum ent�o, sobre as > outras ra�zes pode-se afirmar que: > a) S�o inteiros distintos > b) S�o inteiros n�o distintos > c) S�o racionais n�o inteiros distintos > d) S�o racionais n�o inteiros e iguais > e) S�o racionais > > Tenho que a resposta � a alternativa a), mas n�o > consegui chegar a essa conclus�o. > > Abra�os, > > Rafael. > Oi, Rafael: Realmente, as alternativas n�o s�o mutuamente exclusivas. Veja abaixo: Inicialmente, como as equa��es s�o m�nicas e c e c' s�o inteiros, temos que as ra�zes s�o inteiras ou irracionais (pelo teorema das ra�zes racionais). Isso elimina (c) e (d). Agora, sejam: "a" e "u" as ra�zes de x^2 + bx + c = 0, e "a" e "v" as de x^2 + b'x + c' = 0. Teremos: (i) a + u = b (ii) au = c (iii) a + v = b' (iv) av = c' (i) - (iii) ==> u - v = b - b' (ii) - (iv) ==> a(u - v) = c - c' Logo, (b - b')^2 + (c - c')^2 = (1 + a^2)(u - v)^2 � inteiro e positivo. Em particular, teremos que u <> v ==> as outras ra�zes s�o distintas ==> eliminamos (b). Assim, ficamos entre (a) e (e), as quais, infelizmente, s�o compat�veis (se u e v s�o inteiros distintos, ent�o eles tamb�m s�o racionais). De fato, a alternativa (a), mais restritiva, � verdadeira. Sabemos que as ra�zes s�o inteiras ou irracionais conjugadas (isto � x1 = a + raiz(b) e x2 = a - raiz(b)). Como as duas equa��es t�m uma raiz comum e como os coeficientes s�o inteiros, as outras ra�zes deveriam ser id�nticas tamb�m. S� que sabemos que elas s�o distintas ==> contradi��o ==> as outras ra�zes s�o inteiras e distintas. Um abra�o, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
