Cláudio, > O que é um corpo ordenado Pitagórico?
Quando examinamos a POSSIBILIDADE de ordenar um corpo, entram em cena SOMAS DE QUADRADOS. De fato, dado um corpo K, as seguintes condições são equivalentes: (i) EXISTE uma ordem em K; (ii) Nem todo elemento de K é uma soma de quadrados; (iii) -1 não é uma soma de quadrados. (iv) Uma soma de quadrados é nula somente se cada parcela o é. É fácil provar que (i)=>(ii) e que (ii)<=>(iii)<=>(iv). O difícil é a provar a EXISTÊNCIA de uma ordem -- digamos, que (iii)=>(i). Tanto quanto sei, a primeira prova de que (iii)=>(i) é devida a Artin (por volta de 1920). A noção de corpo "pitagórico" (em inglês, "pythagorean") surge de um aprofundamento desses fatos, mas não pressupõe que o corpo seja ordenável. DEFINIÇÃO. Um corpo K é pitagórico sse toda soma de quadrados é um quadrado. Questão. Como não conheço precedentes na literatura em português, pergunto: você(s) acha(m) que o adjetivo "pitagoriano" soa melhor? Exemplo. Q não é pitagórico, pois não existe a em Q tal que 1^2+1^2=a^2. Para uma "aplicação" desse(s) conceito(s), veja o interessante artigo "The Principal Axis Theorem over Arbitrary Fields", de D. Mornhinweg, D. B. Shapiro e K. G. Valente, publicado no AMM (1993, pp. 749-754). Para corpos K que sejam ordenáveis e pitagóricos, o Teorema 2 deste artigo fornece duas caracterizações da importante Propriedade dos Eixos Principais (que diz que toda K-matriz simétrica é ortogonalmente semelhante a uma matriz diagonal). Há também conexões com o 17o problema de Hilbert e demonstrações "minimamente topológicas" (conforme eu diria) do Teorema Fundamental da Álgebra. E por aí vai... Carlos César de Araújo Matemática para Gregos & Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================