Estou colocando, quase exatamente, o meu raciocínio sobre algumas conseqüências das propriedades de conjuntos. Gostaria que alguém me corrigisse, caso esteja errado.
1º) CONSIDERAÇÕES SOBRE (A^c união B) "pelo diagrama de Euler-Venn:" Demonstração: (1) p/ (A diferente B) (A^c união B) => U - A união B => A^c (2) p/ (A inter B) (A^c união B) => U - A união B => (A - B)^c Conclusão: Analizando (1) e (2), nota-se que em (2) há a restrição (A - B), fato que torna "aparentemente" diferente de (1). Entretanto, visto que em (1) poderiamos incluir "- B" de forma redundante, pois não altera o resultado, concluimos que (1) e (2) são iguais algebricamente. "pela forma algebrica:" (1) resolvendo (A - B)^c, temos: (A - B)^c => (A inter B^c)^c => A^c união (B^c)^c => A^c união B. Portanto, (A^c união B) = (A - B)^c (2) (A^c união B) = {x E A^c união x E B} = {x E[(x E U) e (x nãoE A)] união x E B} = {[x E U e x nãoE A] união x E B} = {x E U e x nãoE A ou x E B} para abranger todos os casos (inteseção e união no diagrama de Euler-Venn), definirei x nãoE A ou x E B, como, B - A. continuando a resolução, temos: = {x E U e x E(B - A)} = {x E U e x E B e x nãoE A} (I) Agora, resolvendo (A - B)^c, temos: (A - B)^c => U - (A - B) = {x E U e x nãoE (A - B)} = {x E U e x nãoE A e x E B)} (II) Concluimos, portanto, que (I) = (II) "comentário" Essa para ficou meio confusa para mim, estou certo ao fazer essa abrangência? Estarei sinceramente grato por qualquer ajuda. Marcelo Paiva Jr. > Claudio, muito obrigado pela ajuda, essa identidade que > você colocou, realmente, facilita e muito os cálculos > -Fiquei um bom tempo analisando uma saida, e não tive > essa idéia, "vivendo e aprendendo"-. Gostaria de fazer > mais uma pergunta. Para resolver essa última > conseqüência, por exemplo, A inter B^c, não existe outr a > maneira, tem que se considerar a condição (interseção o u > reunião) dos conjuntos A e B, digo isso diante - > novamente- do diagrama de Euler-ven. Você concorda? > > De qualquer forma, obrigado pela atenção. > Marcelo Paiva Jr. > > > Oi, Marcelo (e Morgado): > > > > Pelo que eu entendi, voce quer "abrir" a expressao: > > (A - B)^c. > > > > (X^c = complementar de X). > > > > Se for esse o caso, use a seguinte identidade: > > A - B = A inter B^c ==> > > > > (A - B)^c = (A inter B^c)^c = A^c uniao (B^c) > ^c = A^c uniao B > > > > Na primeira igualdade, eu usei a equivalencia acima, na > > > segunda uma das leis de DeMorgan, e na terceira o fat o > de que > > (X^c)^c = X, para todo conjunto X. > > > > Por outro lado: > > A^c - B^c = A^c inter (B^c) > ^c = A^c inter B, o que eh diferente de > > A^c uniao B, a menos que B = A^c. > > > > Espero que isso ajude. > > > > Um abraco, > > Claudio. > > > > > > > > > > ---------- Cabeçalho inicial ----------- > > > > De: [EMAIL PROTECTED] > > Para: [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data: Sat, 31 May 2003 22:07:08 -0300 > > Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo) > > > > > Marcelo, ninguem ta se animando a te responder (eu cr > eio) > > porque a sua > > > mensagem eh de leitura muito, muito dificil. Repost e > a > > mensagem sem > > > simbolos e acentos. Na que eu recebi tem um A^c ? B ^c > . > > > Melhor teria sido escrever complemento de (A unia o > B) = > > (complemento > > > de A) uniao (complemento de B) ... > > > > > > marcelo.paiva.jr4 wrote: > > > > > > >olá pessoal, recentemente, postei uma mensagem de um > > > > >exercício de conjuntos e com minha solução. Analis an > do-a > > > >em casa, percebi que usei algumas aplicações > > > >erroneamente. Por exemplo: > > > >É correto fazer (A U B)^c = A^c ? B^c, > > > >mas não é (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) > > > >Analisando esse último (A^c - > B^c) no diagrama de Eule- > > > >Ven, notamos que a codição (reunião ou interseção) e > m > > > >que se encontram o conjunto A e o B altera o resul ta > do. > > > >Por exemplo: > > > >para A ? B, temos: > > > >A^c - B^c = B - A > > > >e para A "diferente" B, temos: > > > >A^c - B^c = B > > > >Gostaria de saber se existe alguma propriedade par a > > > >diferença de conjuntos & complementar, tipo como a q > ue > > > >usei erroneamente, (A - B)^c = A^c - B^c. Ou algum > > > >método para solucionar de forma direta, questões c om > o a > > > >que eu postei (estou colocando novamente abaix > > rama de Euler-ven, pois este necessitaria > > > >de várias condições, e, no caso da utilização de t rê > s > > > >conjuntos ficaria algo impraticável. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >>(ITA- > 96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e > > > >>considere as seguintes afirmações: > > > >>I. (A - B)^c (B ? A^c)^c = vazio > > > >>II. (A - B^c)^c = B - A^c > > > >>III. [(A^c - B) ? (B - A)]^c = A > > > >>Sobre essas afirmações, podemos garantir que: > > > >>(A) Apenas afirmação I é verdadeira. > > > >>(B) Apenas a afirmação II é verdadeira. > > > >>(C) Apenas III é verdadeira. > > > >>(D) Todas as afirmações são verdadeiras > > > >>(E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. > > > >> > > > >> > > > > > > > > > > > >Obrigado pela atenção. Estarei grato por qualquer > > > >informação. > > > >Marcelo Paiva Jr. > > > > > > > > > > > > > >_________________________________________________ > > _________________________ > > > >Seleção de Softwares UOL. > > > >10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua f am > ília. > > > >http://www.uol.com.br/selecao > > > > > > > > > > > > > >================================================= > > ======================== > > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e u sa > r a lista em > > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html > > > > > >================================================= > > ======================== > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ===================================================== == > ================== > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a > lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ===================================================== == > ================== > > > > > _______________________________________________________ ___________________ > Seleção de Softwares UOL. > 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua famíli a. > http://www.uol.com.br/selecao > > > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > __________________________________________________________________________ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================