On Sat, Jun 07, 2003 at 04:19:39PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Como provar que: > > > cos x = (e^ix + e^-ix)/2 > > e > > sin x = (e^ix - e^-ix)/2i
Bem, eu suponho que a pergunta mesmo é pq e^(it) = cos t + i sen t, as fórmulas acima seguem facilmente disso. Ou mais geralmente, pq temos e^(a+bi) = e^a (cos b + i sen b). A resposta formalista é que esta é a definição de exponencial complexa e definição não se demonstra. Mas existem respostas mais interessantes do que esta. A que me parece melhor é dizer que esta é a única definição de exp: C -> C que preserva as suas propriedades favoritas da exponencial. A propriedade mais básica (e mais importante) é sem dúvida e^(u+v) = e^u e^v. Esta ajuda bastante mas não resolve tudo. Pq não definir, digamos e^(a+bi) = e^a (cos cb + i sen cb) para outro valor da constante real c diferente de 1? Para ver pq a escolha c=1 é melhor do que outras você precisa de alguma coisa parecida com cálculo. Por exemplo, lim_{z -> 0} (e^z - 1)/z = 1 Este limite só dá certo para z complexo com a definição usual. Uma outra explicação comum (tb usando cálculo) é via série de Taylor; esta alguém já deu, não vou repetir. A explicação menos elementar porém mais elegante é que a definição usual de exponencial complexa é a única forma de estender a exponencial real para uma função derivável *no sentido complexo*. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================