Caros colegas da lista:
O problema original era:
Determine o maior primo que pode pertencer a um
conjunto de primos distintos cuja média aritmética é 27.
A minha resposta (137) está errada (veja
abaixo).
O Dirichlet achou a resposta correta, que é
139. A solução dele está reproduzida a seguir:
Contra-exemplo:
3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+139=27*11
3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+139=27*11
Ponha os primos crescentemente:p1+p2+p3+...+pn=27n
p1 nao pode ser 2 e isso voce ja fez.Bem,os primos inferiores a 27 sao 3,5,7,11,13,17,19,23.Assim
pn=27-p1+27-p2+27-p3+...+27-p(n-1)<=27+27-3+...=27-23=145.E ja que a joça e prima pn<=139.
p1 nao pode ser 2 e isso voce ja fez.Bem,os primos inferiores a 27 sao 3,5,7,11,13,17,19,23.Assim
pn=27-p1+27-p2+27-p3+...+27-p(n-1)<=27+27-3+...=27-23=145.E ja que a joça e prima pn<=139.
*****
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, March 14, 2003 2:34 PM
Subject: [obm-l] Primos com média 27(141 e primo? -
Não, mas 137 é!)
> ----- Original Message -----
> From: <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Friday, March 14, 2003 1:24 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primos com média 27(141 e primo?)
>
>
> > Mas desde quando 141=3*47 e primo?
> >
> > -- Mensagem original --
> >
>
>
> Ops! Que mancada!!!! Obrigado, JP.
>
> Veja a solução revisada a seguir - é exatamente igual à anterior, só que em
> vez de parar em 141, que não é primo, vai um único passo além e chega em
> 137, que é primo com certeza!!!
>
> Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn.
>
> Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn.
>
> Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos
> chamá-los de "primos inferiores". Todos os demais serão "primos superiores".
>
> A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média composta do maior número
> possível de primos inferiores e do menor número possível de primos
> superiores.
> From: <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Friday, March 14, 2003 1:24 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primos com média 27(141 e primo?)
>
>
> > Mas desde quando 141=3*47 e primo?
> >
> > -- Mensagem original --
> >
>
>
> Ops! Que mancada!!!! Obrigado, JP.
>
> Veja a solução revisada a seguir - é exatamente igual à anterior, só que em
> vez de parar em 141, que não é primo, vai um único passo além e chega em
> 137, que é primo com certeza!!!
>
> Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn.
>
> Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn.
>
> Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos
> chamá-los de "primos inferiores". Todos os demais serão "primos superiores".
>
> A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média composta do maior número
> possível de primos inferiores e do menor número possível de primos
> superiores.
*** O erro está justamente na afirmativa acima
***
Assim, vamos ver se damos a sorte de ter
todos os 9 primos
> inferiores e apenas um primo (Pn) superior incluído na média.
>
> 27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> não é primo
>
> Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, começando com o
> mais alto (23):
>
> 27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> não é primo
>
> Além disso, a má notícia é que eliminando um único primo inferior ímpar, nós
> sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar um
> primo inferior, ele só pode ser o 2. Vejamos:
>
> 27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn ==> Pn = 145 ==> não é primo.
>
> O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores de cada vez. Começando
> com os dois mais altos (19 e 23), teremos:
>
> 27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> não é primo
>
> Além disso, da mesma forma que acima, concluímos que eliminando qualquer par
> de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá que ser necessariamente
> eliminado.
>
> Vamos eliminar 2 e 23:
> 27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> não é primo (como o JP bem
> observou)
>
> 2 e 19:
> 27*8 = 3+5+...+17+23+Pn = 79+Pn ==> Pn = 137 ==> esse é primo....
>
> A fim de completar a análise, devemos considerar o caso em que há 2 ou mais
> primos superiores compondo a média.
> Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e n primos superiores (n >=
> 2). Então:
>
> 27*(m+n) = m*Minf + n*Msup (Minf (Msup) = média dos primos inferiores
> (superiores) ) ==>
> Msup = (27*(m+n) - m*Minf)/n = (27 - Minf)*m/n + 27
>
> Não é difícil ver que o maior valor possível de (27 - Minf)*m ocorre
> justamente quando todos os 9 primos inferiores estão presentes ==> (27 -
> Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143
>
> Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos superiores é menor ou igual a
> 143/n + 27 ==> uma função decrescente de n.
>
> Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 + 27 =
> 98,5 < 137.
>
> Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que 137 ==> a sequencia de
> primos distintos com média igual a 27 tem apenas um primo superior, igual a
> 137.
>
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> inferiores e apenas um primo (Pn) superior incluído na média.
>
> 27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> não é primo
>
> Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, começando com o
> mais alto (23):
>
> 27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> não é primo
>
> Além disso, a má notícia é que eliminando um único primo inferior ímpar, nós
> sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar um
> primo inferior, ele só pode ser o 2. Vejamos:
>
> 27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn ==> Pn = 145 ==> não é primo.
>
> O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores de cada vez. Começando
> com os dois mais altos (19 e 23), teremos:
>
> 27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> não é primo
>
> Além disso, da mesma forma que acima, concluímos que eliminando qualquer par
> de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá que ser necessariamente
> eliminado.
>
> Vamos eliminar 2 e 23:
> 27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> não é primo (como o JP bem
> observou)
>
> 2 e 19:
> 27*8 = 3+5+...+17+23+Pn = 79+Pn ==> Pn = 137 ==> esse é primo....
>
> A fim de completar a análise, devemos considerar o caso em que há 2 ou mais
> primos superiores compondo a média.
> Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e n primos superiores (n >=
> 2). Então:
>
> 27*(m+n) = m*Minf + n*Msup (Minf (Msup) = média dos primos inferiores
> (superiores) ) ==>
> Msup = (27*(m+n) - m*Minf)/n = (27 - Minf)*m/n + 27
>
> Não é difícil ver que o maior valor possível de (27 - Minf)*m ocorre
> justamente quando todos os 9 primos inferiores estão presentes ==> (27 -
> Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143
>
> Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos superiores é menor ou igual a
> 143/n + 27 ==> uma função decrescente de n.
>
> Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 + 27 =
> 98,5 < 137.
>
> Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que 137 ==> a sequencia de
> primos distintos com média igual a 27 tem apenas um primo superior, igual a
> 137.
>
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
