Oi, Marcio e Eduardo: Esse problema tem uma generaliza��o interessante.
Inicialmente, dado um n-gono (n >= 3) inscrito A1A2...An, considere a soma das medidas (em radianos) dos arcos A1A2, A2A3, ..., AnA1. O valor desta soma sempre ser� um m�ltiplo de 2Pi, digamos 2Pi*m, onde m � um inteiro tal que 1 <= m < n/2. O pol�gono ser� convexo se e somente se m = 1. A generaliza��o � a seguinte: Dados n segmentos (n >= 3) de comprimentos L1, L2, ..., Ln, sempre existir� um real positivo R tal que os n segmentos formam os lados de um pol�gono inscrit�vel num c�rculo de raio R. Al�m disso, se ficarmos restritos a uma valor fixo de m, podemos tomar os segmentos em qualquer ordem que o pol�gono formado por eles ainda ser� inscrit�vel no mesmo c�rculo. A primeira parte decorre dos seguintes fatos: 1) Dado um circulo de raio R, uma corda de comprimento L estar� compreendida por um �ngulo central de medida 2x, onde x = arcsen(L/(2R)) e 0 < x < Pi/2. 2) A fun��o f: (L,+infinito) --> (0,Pi/2), definida por f(x) = arcsen(L/x) � uma bije��o cont�nua e mon�tona decrescente. Seja L = max(L1,L2,...,Ln). A fun��o g:(L,+infinito) --> (0,n*Pi/2), definida por: g(x) = arcsen(L1/x) + arcsen(L2/x) + ... + arcsen(Ln/x) tamb�m ser� cont�nua e mon�tona decrescente (logo, injetiva). No entanto, g s� ser� sobrejetiva, e portanto uma bije��o, se L1 = L2 = ... = Ln = L. Logo, pelo TVI, dever� existir um (�nico) real positivo R, tal que g(2R) = m*Pi, onde m = 1 se estivermos interessados em pol�gonos convexos e 2 <= m < n/2 caso contr�rio (repare que como n >= 3, Pi pertence ao contra-dom�nio de g). ***** A 2a. parte decorre do fato de que a defini��o de g independe da ordem em que as parcelas arcsen(Lk/x) s�o somadas. ***** Repare que se usarmos valores distintos de m, obteremos valores distintos de R. Por exemplo, tome n = 5 e L1 = L2 = ... = L5 = L. Nesse caso, teremos g: (L,+infinito) --> (0,5Pi/2) g(x) = 5*arcsen(L/x) ==> m = 1 ==> g(2R) = 5*arcsen(L/(2R)) = Pi ==> L = 2R*sen(Pi/5) = lado do pent�gono regular convexo inscrito m = 2 ==> g(2R) = 58arcsen(L/(2R)) = 2*Pi ==> L = 2R*sen(2Pi/5) = lado do pent�gono regular estrelado inscrito. ***** No caso do problema do Eduardo, teremos n = 6, L1 = L2 = L3 = 3 e L4 = L5 = L6 = 5. Assim, g:(5,+infinito) --> (0,3Pi) ser� dada por: g(x) = 3*(arcsen(3/x) + arcsen(5/x)) m = 1 ==> g(2R) = Pi ==> arcsen(3/(2R)) + arcsen(5/(2R)) = Pi/3 ==> ( fazendo x = 1/(2R) ) arcsen(5x) = Pi/3 - arcsen(3x) ==> ( tomando senos e usando a identidada p/ o seno da diferen�a ) 5x = (raiz(3)/2)*cos(arcsen(3x)) - (1/2)*sen(arcsen(3x)) ==> 10x = raiz(3)*raiz(1 - (3x)^2) - 3x ==> (13x)^2 = 3*(1 - (3x)^2) ==> 169x^2 = 3 - 27x^2 ==> x^2 = 3/196 ==> x = raiz(3)/14 (lembre-se de que x = 1/(2R) > 0) ==> R = 1/(2x) = 7/raiz(3) = 7*raiz(3)/3, o que bate com a resposta dop M�rcio (ainda bem!!!) ***** No entanto, tamb�m temos que considerar o caso m = 2 (hex�gono n�o convexo). Nesse caso, teremos: g(2R) = 2Pi ==> arcsen(3/(2R)) + arcsen(5/(2R)) = 2Pi/3 ==> ( fazendo x = 1/(2R) ) arcsen(5x) = 2Pi/3 - arcsen(3x) ==> ( tomando senos e usando a identidada p/ o seno da diferen�a ) 5x = (raiz(3)/2)*cos(arcsen(3x)) + (1/2)*sen(arcsen(3x)) ==> 10x = raiz(3)*raiz(1 - (3x)^2) + 3x ==> (7x)^2 = 3*(1 - (3x)^2) ==> 49x^2 = 3 - 27x^2 ==> x^2 = 3/76 ==> x = raiz(57)/38 (lembre-se de que x = 1/(2R) > 0) ==> R = 1/(2x) = 19/raiz(57) = raiz(57)/3. Assim, o problema do Eduardo admite uma segunda solu��o R = raiz(57)/3, que corresponde juatamente ao caso em que o hex�gono inscrito � n�o-convexo. ***** Um abra�o, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Marcio" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, June 14, 2003 3:54 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria Plana > Ligue o centro O do c�rculo aos 6 v�rtices. Chame de 2x cada angulo com > vertice em O que aparece nos triangulos de base 5, e de 2y os angulos em O > nos triangulos de base 3. > Temos 6x+6y = 360 donde x = 60-y. > No triangulo de base 5, temos > (i) 5 = 2R * sen(x) (para ver isso, voce pode tracar a altura > relativa a base nesse triangulo isosceles) e no de base 3, temos: > (ii) 3 = 2R * sen(y). > Eliminando R dessas equacoes: 5seny = 3 senx > Como x = 60-y, senx = sen(60-y) = [sqrt(3)cosy - seny]/2 > Juntando: > 10seny = 3sqrt(3)cosy - 3seny, donde tan(y) = 3sqrt(3)/13 e > portanto, sen(y) = 3sqrt(3)/14. > Essa ultima conclusao, junto com (ii), permite determinar R: > 3 = 2R * 3sqrt(3)/14, donde R = 7sqrt(3) / 3. > > Obs: Eh legal notar que os lados 3,3,3,5,5,5 podem estar dispostos em > qualquer ordem que o resultado nao muda. > > Marcio > > > ----- Original Message ----- > From: "Eduardo Quintas da Silva" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Saturday, June 14, 2003 8:05 AM > Subject: [obm-l] Geometria Plana > > > > Um hex�gono inscrito num c�rculo de raio R, tem 3 lados medindo 3 cm e 3 > > lados medindo 5 cm. Calcule R > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
