Este problema caiu numa IMO e a pergunta era qual a soma dos digitos de c.


Todo natural eh congruo, modulo 9, ah soma de seus algarismos. Logo, a, b e c sao congruos entre si, modulo 9.


Vamos descobrir a que sao congruas, modulo 9, as potencias de 4444.
4444^1 congruo a 7; 4444^2 congruo a 7^2=49 congruo a 4; 4444^3 congruo a 7*4=28 congruo a 1.
4444^4444 = 4444^(3*1481+1) = [(4444^3)^1481] * 4444 congruo a (1^1481)*7 = 7.


Logo, modulo 9, a, b e c sao congruos a 7.

a eh menor que 10000^4444 = 10^17776 que eh o menor natural de 17 777 digitos. Logo, a tem, no maximo, 17 776 digitos e b sera menor que 17776*9 =159 984.
c sera menor que 1+5*9 = 46. Logo, a soma dos algarismos de c sera menor que 4+9=13. Como a soma dos algarismos de c eh congrua a 7, modulo 9, a soma dos digitos de c vale 7.


Apesar de ter usado uma desigualdade muito larga (4444 < 10 000), nao se conseguiria resultado muito melhor com uma desigualdade mais estreita. Com calculadora descobre-se que a eh um numero de 16 211 digitos.


----- Original Message -----
From: "cfgauss77" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, June 28, 2003 4:26 PM
Subject: [obm-l] Potência


Seja o número a=4444^4444, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c.

Desde já agradeço!!!!







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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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