Gente,
O que escrevi antes n�o ajuda muito no problema dos
elevadores. Eu pensei mais seriamente nele e provei
que as �nicas solu��es s�o obtidas assim: separe os 14
andares em 7 pares de andares. Tome-os como pontos do
plano heptaprojetivo P2(Z/2Z). Os elevadores
correspondem �s retas (que cont�m cada uma 3 pares, ou
seja, 6 andares).
Para provar isso, pense nos seguintes lemas:
Lema 1: Cada andar � atendido por exatamente 3
elevadores.
Lema 2: Dois elevadores distintos atendem a exatamente
2 andares em comum.
Lema 3: Considere os tr�s elevadores que atendem um
determinado andar. Ent�o esses tr�s elevadores atendem
um outro andar em comum.
Lema 4: H� 7 pares de andares, cada um atendido por
mais de um elevador (no caso, tr�s). Os pares s�o
disjuntos e cada andar est� contido em exatamente um
par.
Lema 5: Os 7 pares podem ser vistos como pontos e os
elevadores, como retas em P2(Z/2Z).
Dicas: eu usei contagem dupla para os lemas 1 e 2. Nos
lemas 2 e 3 usei argumentos a la casa dos pombos. O
lema 4 saiu por indu��o e o lema 5 decorre dos lemas
anteriores.
H� 14!/[7!(2!)^7] maneiras de particionar os andares e
151200 maneiras de distribuir os 7 pontos em 7 retas
do plano heptaprojetivo (veja o livro do Morgado de
Combinat�ria e Probabilidade que tem o seguinte
problema: um professor, para se despedir de seus 7
alunos, resolveu pagar 7 jantares, cada um para 3
alunos, de modo que cada par de alunos apare�a no
m�ximo em um mesmo jantar. De quantas maneiras podemos
organizar os jantares?), assim h�
151200*14!/[7!(2!)^7] = 20432412000 solu��es (que no
fundo, s�o essencialmente uma s�).
[]'s
Shine
> > Oi Nicolau,
> > > Acho que consegui uma solucao com 14
> andares:
> > e� que P:=P2(Z/(2)) tem 7
> > >elementos e 7 retas (seja R o conjunto de suas
> > retas). Tomamos como conjunto
> > >dos andares Px{0,1}, e como conjunto dos
> elevadores
> > a diagonal de RxR.
> > >Da� para escrever mais explicitamente isso: os
> > andares sao 1,2,...,14.
> > >Os elevadores sao
> > {1,2,3,8,9,10},{1,4,5,8,11,12},{1,6,7,8,13,14},
> > >{2,4,6,9,11,13},{2,5,7,9,12,14},{3,4,7,10,11,14}
> e
> > {3,5,6,10,12,13}.
> > > Abracos,
> > > Gugu
> > >
> > >Citando "Nicolau C. Saldanha"
> > <[EMAIL PROTECTED]>:
> > >
> >
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