Oi, Alexandre: Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o conjunto dos naturais:
A minha ideia eh provar que se n <> 2, entao existira um valor de x para o qual a identidade falha. Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x. 1) n eh impar: Nesse caso, tome x = 5pi/4 ==> cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) ==> cos^n(x) + sen^n(x) < 0 < 1 2) n eh par e > 2: Nesse caso, tome x = Pi/4 ==> cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) ==> cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) < 1/2 ==> cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) < 1/2 + 1/2 = 1 Logo, n soh pode ser igual a 2. ***** O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais. Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x). Derivando em relacao a n: f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x) 0 < sen(x) < 1 e 0 < cos(x) < 1 ==> ln(sen(x)) < 0 e ln(cos(x)) < 0 ==> f'(n) < 0 para todo n ==> f eh monotona decrescente ==> f eh injetiva ==> existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2). Um abraco, Claudio. ---------- From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300 To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria Oi, Morgado: Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que a questao eh demonstrar que: Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2. Um abraco, Claudio. on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote: > ??? > > Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert > <[EMAIL PROTECTED]> disse: > >> Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a nível de segundo >> grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar: >> >> sen^x + cos^x = 1 >> >> provar que n=2 >> >> Alexandre Daibert >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================