On Thu, Jul 31, 2003 at 02:18:14AM -0300, Alexandre Daibert wrote:
> Um colega meu está procurando uma solução para este problema. Alguém 
> ajudaria?
> 
> Calcule x e y, x e y pertencentes a R+
> x^y = 3
> y^x = 2

Calculei as soluções usando o maple:

> ff := x -> x^(2^(1/x));
                                           (1/x)
                                         (2     )
                             ff := x -> x

A idéia é que y = 2^(1/x) e portanto devemos resolver ff(x) = 3.
Um gráfico me indicou que ff é crescente para x >= 1
(o que não deve ser difícil de demonstrar derivando ff)
e a solução é portanto única.

Vou pedir 40 algarismos de precisão.

> Digits := 40:

E agora podemos resolver a equação:

> xx := fsolve(ff(x)=3,x=3);
                xx := 2.239250260170460364401244275120966173816

> yy := 2^(1/xx);
                yy := 1.362803958828402391919500006838187986350

Vamos testar:

> xx^yy;
                   2.999999999999999999999999999999999999999

> yy^xx;
                   1.999999999999999999999999999999999999999

É, deu certo.

A dúvida pode ser se xx e yy não são números "fáceis",
talvez racionais ou algébricos. Eu estou convencido de que não.
É bem óbvio que eles não são inteiros nem aliás racionais com
denominador baixo. Para elevarmos um racional a outro e termos
como resposta 2 a base deve ser uma potência (com expoente inteiro) de 2
e isso yy claramente não é, assim como xx também não é potência de 3.
Por outro lado sabemos que se a e b são algébricos, a diferente de 0 e 1
e b irracional então a^b não é algébrico: usando este teorema podemos
ver que xx e yy não são algébricos. Em princípio ele poderiam não ser
algébricos mas ainda serem fáceis, sendo por exemplo funções fáceis de pi,
mas duvido que isso seja verdade.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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