Caro Shine, Na verdade eu fiquei sabendo desse problema pela lista mesmo (se nao me engano proposto pelo Claudio Buffara) e sugeri que fosse incluido numa lista de treinamento para a IMO. E' bem legal, nao ? Abracos, Gugu > >Oi, > >Esse problema é de uma lista da preparação para a IMO >desse ano e, se não me engano, o Gugu o propôs (é isso >mesmo, Gugu?). A preparação desse ano já foi, então >podemos conversar sobre esse problema. > >Vamos ver alguns valores pequenos: > >f(1) = 1; >f(2) = 3; >f(3) = 2; >f(4) = 6; >f(5) = 8; >f(6) = 4; >f(7) = 11; >f(8) = 5; >f(9) = 14; >f(10) = 15; >f(11) = 7; >f(12) = 19; >f(13) = 21... > >Vamos formar os pares (a,b) nas quais f(a) = b e f(b) >= a (vamos convencionar a < b): > >(1;1), (2;3), (4;6), (5;8), (7;11), (9;14), (10;15), >(12;19), (13;21)... > >Apareceram os números consecutivos de Fibonacci (1;1), >(2;3), (5;8) e (13;21)... e as razões b/a em cada par >são muito próximas... de phi = (1+raiz(5))/2! > >Pode-se provar que se x e y são irracionais tais que >1/x + 1/y = 1 então as seqüências [mx] e [ny], m,n >inteiros positivos, e [r] é o maior inteiro menor ou >igual a r, particionam os inteiros positivos, ou seja, >{[mx]} união {[ny]} = Z+* e {[mx]} inter {[ny]} = >vazio (eu aprendi a demonstração desse fato no livro >"Elementary Number Theory", de Joe Roberts). phi e >phi^2 satisfazem essa condição, assim as seqüências >[m*phi] e [n*phi^2] particionam Z+*. > >Se você calcular os valores pequenos dessas duas >seqüências, pode conjecturar que f([n*phi]+1) = >[n*phi^2]+1 e f([n*phi^2]+1) = [n*phi]+1. > >Eu lembro que, na época, provei isso por indução, >adicionando algumas hipóteses para sair mais fácil... > >Um problema relacionado caiu na IMO 1993 (acho que o >ano é esse...): Encontre uma função f de N em N tal >que f(f(n)) = f(n) + n para todo n em N. > >[]'s >Shine > >> Caros colegas: > >> Este problema me foi proposto ha alguns meses pelo >Domingos Jr. mas eu nao consegui fazer. Trata-se da >generalizacao de um problema que ele resolveu aqui na >lista. > >> Seja N = conjunto dos inteiros positivos. >> >> Definimos f:N --> N por: >> f(1) = 1 >> e, para n > 1, >> f(n) = menor inteiro positivo que: >> i) nao pertence a {f(1), ...., f(n-1)} >> e >> ii) faz com que [f(1) + ... + f(n)]/n seja inteiro. >> >> Prove que f eh uma involucao, ou seja, eh tal que >f(f(n)) = n, para todo n em N. (em particular, isso >implica que f eh uma bijecao, que foi o que o Domingos >provou). > >> Qualquer ajuda serah bem-vinda. > >> Um abraco, >> Claudio. > >__________________________________ >Do you Yahoo!? >Yahoo! SiteBuilder - Free, easy-to-use web site design software >http://sitebuilder.yahoo.com >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >=========================================================================
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