Este eu vou colocar no Beleza Matematica,por ser ium dos teoremas mais legais de teoria elementar dos numeros.Ai vai:
--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi, Duda: > > Que tal estes aqui? > > 1) Prove que se n eh inteiro e n > 1, entao n > nao divide 2^n - 1. Este caiu num Putnam. Se n|2^n-1 e p e o menor primo com p|n,temos p|2^n-1 e p|2^(p-1)-1 por Euler-Fermat.Logo p|2^(MDC(n;p-1))-1 e assim como p-1 tem fatores primos menores que p enquanto n nao tem fatores primos maiores que p,temos p|1,absurdo! > 2) Se p eh primo, entao a congruencia x^2 + 1 > == 0 (mod p) tem solucao se e > somente se p = 2 ou p == 1 (mod 4). Este teorema sai da famosa Lei de Reciprocidade Quadratica.Prefiro algo mais elementar,isto pode ser achado na Eureka!,sobre o poderoiso artigo do Issao de inteiros algebricos. Pode-se usar o teorema de Wilson para decifrar uma fatoraçao legal.Vejam este caso pequeno:4*3+1=13,e 12!=-1(mod 13).Como 12+1=11+2=10+3=9+4=8+5=7+6,podemos agrupar e obter (12*1)*(11*2)*(10*3)*(9*4)*(8*5)*(7*6)= (-1)^6*(1*2*3*4*5*6)^2=-1(mod 13).E fim!Generalize! o p=2 fica por fazer. Se x^2+1=(4k+3)*t,teremos x^2+1=-(t-1)(mod 4). Os quadrados mod 4 sao 1,0.Logo t-1 e 0 ou 3 mod 4,e assim t e 1 ou 0 mod 4.Nao da pra ser zero pois pares nao dividem impares,logo so da pra ser 1. (4k+3)(4l+1)=16kl+12l+4k+3=x^2+1, x^2=16kl+12l+4k+2=2*(8kl+6l+2k+1), Como 2 e primo com (8kl+6l+2k+1),e o produto deve ser quadrado perfeito,temos que 2 deve ser quadrado perfeito.O que e falso. Inte!!!Ass.:Johann > Um abraco, > Claudio. > > on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Olá pessoal! > > > > Prove que se n > 1 e a > 0 são inteiros então > n | PHY(a^n - 1). > > > > PHY é a função de Euler. > > > > Abraço, > > Duda. > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da > lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================================================================================= _______________________________________________________________________ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================