On Mon, Aug 25, 2003 at 04:10:58PM -0300, cfgauss77 wrote:
> Gostaria que me ajudacem, se poss�vel, determinar o
> valor do seguinte produto.
>
> sen(Pi/n)*sen(2Pi/n)*sen(3Pi/n)*...*sen((n-1)Pi/n)
Um cl�ssico.
Seja z = exp(2 pi i/n).
Considere o polin�mio
P(x) = (x^n - 1)/(x - 1)
= x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1
= (x - z)(x - z^2)...(x - z^(n-1))
Temos
P(1) = n = (1 - z)(1 - z^2)...(1 - z^(n-1))
Mas claramente |1 - z^k| = 2*sen(k pi/n) donde temos
n = |P(1)| = 2^n * sen(pi/n) * sen(2 pi/n) * ... * sen((n-1) pi/n)
e o seu produt�rio � igual a n*2^(-n).
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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