a) s� 1 ponto (a origem);
b) 2 retas que se cruzam na origem;
c) 1 �nica reta;
Mas esses n�o s�o os casos mais interessantes.
Se o plano n�o passa pela origem, ent�o a intersec��o pode ser:
d) elipse, quando a interse��o do plano com o cone fica contido num conjunto limitado;
e) uma par�bola, quando o plano � paralelo a uma geratriz do cone, ou seja, a intersec��o do cone duplo com o plano tem apenas 1 componente conexa;
f) uma hip�rbole, quando o �ngulo entre o plano e o cone � tal que sua interse��o possui 2 componentes conexas, uma em cada semi-espa�o z>0 e z<0. Repare que esse caso inclui quando o plano � paralelo ao eixo do cone, dando tamb�m uma hip�rbole.
Para se ter uma id�ia do porque disso, pode-se escolher um plano com equa��o bastante simplificada pela simetria do problema, substitu�-la na equa��o do cone e encontrar a proje��o da curva no plano xy, xz ou yz. Tamb�m precisa lembrar que transforma��es lineares invert�veis (no caso, as proje��es) n�o v�o mudar o tipo da c�nica.
Se pensarmos na solu��o da equa��o quadr�tica geral com 2 vari�veis:
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
ent�o as solu��es poss�veis no plano s�o as c�nicas j� mencionadas, podendo ocorrer tamb�m:
a) 2 retas paralelas;
b) vazio;
que n�o podem ser obtidas pela intersec��o do cone duplo com um plano.
Por curiosidade, algu�m sabe dizer se, por defini��o, essas �ltimas solu��es tamb�m s�o chamadas de c�nicas?
Um abra�o. Pedro.
Em Mon, 25 Aug 2003 18:09:09 -0300, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria.
Abracos Artur
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