So algumas coisinhas:
1)O metodo probabilistico poderia ser incluido nao pelas aplica�oes sofisticadas
mas pela ideia em si, que e bem simples.
se fossemos pensar assim nao incluiriamos o Teorema Fundamental da Algebra.
2)Cardinalidade de conjuntos e sobre conjuntos e nao analise.
3)Voce nao colocou a desigualdade de Erd�s-Mordell na parte de geometria.Alias
tem muita coisa em geometria que nao foi contada...Por exemplo o caso n=3
do porisma de Steiner-Poncelet,e o escudinho da OBM,e o teorema de Feuerbach.
4)O Teorema dos Infinitos Primos da forma Nk+1 e razoavelmente facil, so
leva tempo pra entender.
5)Voce deveria esperar mais um pouco,so prpo pessoal enviar mais ideias...
6)Em Teoria dos Numeros,voce poderia incluir a demonstra�ao de que
2^(1/2) e irracional,como uma boa utiliza��o do principio da boa ordena��o.
"Nao e dificil perceber que 1<2^(1/2)<2
Construa o conjunto S={x natural t.q. x*2^(1/2) � natural}
=N inter N*2^(1/2).
Vamos demonstrar que este conjunto e vazio.
Se S nao for vazio, seja m o seu minimo.Vamos provar que
(2^(1/2)-1)*m esta em S.
De fato,este cara e maior que zero, e ((2^(1/2)-1)*m)*2^(1/2)= 2*m-2^(1/2)*m,
que e natural.
Assim sendo, como m e minimo, 2^(1/2)-1>=1, que e obviamente falso.
E fim!
Para acabar, se 2^(1/2) fosse racional,existiria um natural t tal que 2^(1/2)*t
e inteiro. E demonstramos o contrario ndisso no paragrafo anterior.Logo,fim!"
-- Mensagem original --
>Caros colegas:
>
>Aqui est� a compila��o dos problemas e teoremas de n�vel compat�vel com
o
>2o. grau das nossas escolas que 9 participantes da lista acharam os mais
>bonitos e/ou surpreendentes. Noto aqui o meu agradecimento aos outros 8
pelo
>interesse em participar da enquete.
>
>Tanto quanto poss�vel procurei ser imparcial. Entretanto, decidi excluir
>alguns resultados de an�lise, teoria dos n�meros e combinat�ria por estar
>convencido de que seus n�veis de abstra��o e sofistica��o est�o muito al�m
>do que seria razo�vel para um aluno normal de 2o. grau (voc� n�o estar�
>muito enganado se interpretar isso como: "Eu (Claudio) tive dificuldade
pra
>entender estes resultados"!). Assim, n�o fazem parte da compila��o:
>- o teorema dos n�meros primos;
>- o teorema sobre a infinidade de primos da forma Nk + 1, onde N � um
>inteiro qualquer;
>- os teoremas de Heine-Borel, Cantor-Bendixson e alguns outros resultados
>de
>an�lise e topologia;
>- o bel�ssimo m�todo probabil�stico em an�lise combinat�ria, criado por
Paul
>Erdos, cujo princ�pio � bem intuitivo mas as aplica��es s�o um pouco
>sofisticadas demais.
>Espero que essa atitude n�o me torne alvo de cr�ticas muito severas.
>
>Assim, sem mais delongas, vamos � compila��o:
>
>
>
>TEORIA DOS N�MEROS:
>
>1. Infinitude dos primos:
>i) O conjunto dos primos � infinito;
>ii) Se p(n) = n-�simo primo, ent�o a s�rie:
>SOMA(n>=1) 1/p(n) = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... � divergente.
>iii) Existe uma infinidade de primos de cada uma das formas a seguir: 4k+3,
>6k+5 e 4k+1.
>
>
>2. "Desertos" de primos:
>Dado um inteiro positivo qualquer N, existe um conjunto de N inteiros
>positivos consecutivos que n�o contem nenhum primo.
>
>
>3. O teorema de Bezout:
>Se a e b s�o dois inteiros quaisquer, ent�o mdc(a,b) � o menor inteiro
>positivo que pode ser expresso na forma a*x + b*y, com x e y inteiros.
>Consequ�ncias:
>i) Se a e b s�o inteiros primos entre si e se a divide b*c (c inteiro),
>ent�o a divide c;
>ii) Se p � primo, ent�o cada inteiro primo com p tem um inverso (mod p)
-
>em
>outras palavras, se n � inteiro e primo com p, ent�o existe um inteiro
k
>tal
>que n*k - 1 � m�ltiplo de p;
>iii) O pequeno teorema de Fermat: se p � um primo e n � um inteiro qualquer,
>ent�o n^p - n � m�ltiplo de p;
>iv) O teorema de Wilson: p � primo se e somente se (p-1)! + 1 � m�ltiplo
>de
>p;
>
>
>4. Primos como somas de quadrados:
>i) Todo primo da forma 4k+1 pode ser expresso, de maneira �nica, como uma
>soma de dois quadrados de n�meros inteiros.
>ii) Nenhum primo da forma 4k+3 pode ser expresso como uma soma de dois
>quadrados de n�meros inteiros.
>
>
>5. N�meros perfeitos:
>Um inteiro positivo � chamado de perfeito quando � igual ao dobro da soma
>de
>seus divisores positivos (ou seja, ele � igual � soma dos divisores
>positivos menores do que ele mesmo). As duas partes do resultado a seguir
>foram descobertas por Euclides ( <== ) e Euler ( ==> ) com um intervalo
de
>cerca de 2000 anos:
>N � perfeito par <==> N = 2^(p-1)*(2^p - 1), onde 2^p - 1 � primo.
>(OBS: at� hoje n�o se sabe se existe algum n�mero perfeito �mpar)
>
>
>6. O caso n = 4 do �ltimo Teorema de Fermat:
>A equa��o x^4 + y^4 = z^4 n�o admite solu��o em inteiros n�o nulos (repare
>que a condi��o 'n�o nulos' � crucial, pois claramente 1^4 + 0^4 = 1^4).
>
>
>7. Postulado de Bertrand:
>Se x > 1, ent�o existe (pelo menos) um primo entre x e 2x.
>
>
>8. Se as medidas dos 3 lados e dos 3 �ngulos (em graus) de um tri�ngulo
s�o
>racionais, ent�o o tri�ngulo � equil�tero.
>
>
>9. A f�rmula para a soma das p-�simas pot�ncias dos n primeiros n�meros
>naturais em fun��o dos n�meros de Bernoulli:
>1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p = ((n + B)^p - B^p)/(p+1), onde:
>(n + B)^k deve ser expandido da forma usual (bin�mio de Newton), mas B^k
>deve ser interpretado como B(k) = k-�simo n�mero de Bernoulli.
>Os n�meros de Bernoulli s�o definidos pela recorr�ncia:
>B(0) = 1
>e
>SOMA(0<=k<=n) Binom(n+1,k)*B(k) = 0
>
>
>10. O produto de Euler:
>Para s > 1, vale:
>SOMA(n>=1) 1/n^s = PRODUTO(p primo) 1/(1 - 1/p^s).
>Ou seja:
>SE
>S = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + ...
>e
>P = (1/(1 - 1/2^s))*(1/(1 - 1/3^s))*(1/(1 - 1/5^s))*(1/(1 - 1/7^s))*...
>ENT�O
>S = P.
>
>
>*****
>
>
>AN�LISE:
>
>11. �lgebra de conjuntos:
>Se A, B e C s�o conjuntos quaisquer, ent�o:
>i) A U (B inter C) = (A U B) inter (A U C)
>ii) A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter C)
>Se X' � o complementar de X em rela��o a um conjunto universo dado, ent�o
>valem as leis de De Morgan:
>iii) (A U B)' = A' inter B'
>iv) (A inter B)' = A' U B'
>
>
>12. Cardinalidade de conjuntos infinitos:
>Dizemos que dois conjuntos X e Y t�m a mesma cardinalidade (e escrevemos
>card(X) = card(Y)) quando existe uma bije��o entre eles. Se existe uma
>fun��o injetiva de X em Y, mas nenhuma fun��o sobrejetiva de X em Y, dizemos
>que card(X) < card(Y).
>
>Valem os seguintes teoremas sobre cardinalidade de conjuntos infinitos
(N
>=
>conjunto dos numeros naturais; Q = conjunto dos numeros racionais; R =
>conjunto dos numeros reais):
>i) card(N) = card(Q),
>ii) card(N) < card(R),
>iii) card(R) = card(R^2),
>iv) card(X) < card(Partes(X)), onde X � um conjunto qualquer,
>v) card(Partes(N)) = card(R),
>OBS: Um conjunto X � dito enumer�vel quando card(X) = card(N). Se card(N)
><
>card(X), entao dizemos que X e n�o-enumer�vel. Assim, Q � enumer�vel mas
>R
>n�o �.
>
>
>13. Intervalos em R:
>i) card([a,b]) = card([0,1]) para quaisquer a, b reais com a < b;
>ii) card(R) = card((0,1));
>iii) card((0,1)) = card([0,1]);
>iv) A intersec��o de uma infinidade de intervalos abertos pode ser igual
>a
>um intervalo fechado;
>v) A uni�o de uma infinidade de intervalos fechados pode ser igual a um
>intervalo aberto.
>vi) Qualquer intervalo aberto cont�m uma infinidade de n�meros racionais
>e
>uma infinidade de n�meros irracionais;
>
>
>14. C (conjunto dos n�meros complexos) n�o pode ser ordenado:
>Um conjunto num�rico A (tecnicamente um "corpo") � dito ORDENADO quando
ele
>possui um subconjunto A+ de elementos ditos "positivos" tais que:
>i) Se x � um elemento de A, ent�o exatamente uma das alternativas seguintes
>ocorre: x pertence a A+, x = 0 ou -x pertence a A+;
>ii) Se x e y pertencem a A+, ent�o x+y e x*y pertencem a A+.
>Com esta defini��o, C n�o pode ser ordenado (ou seja, C n�o possui nenhum
>subconjunto C+ que obede�a a (i) e (ii) acima).
>
>
>15. A equa��o x^2 = 2^x tem 3 solu��es reais.
>
>
>16. Um n�mero irracional elevado a um expoente irracional pode resultar
num
>n�mero racional;
>
>
>17. A s�rie harm�nica:
>A s�rie SOMA(n>=1) 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... � divergente.
>
>
>18. Teorema do Valor Intermedi�rio:
>Seja F uma fun��o real cont�nua em algum intervalo fechado [a,b] (a < b)
>tal
>que F(a) < 0 e F(b) > 0. Ent�o, existe um n�mero real c tal que a < c <
b
>e
>F(c) = 0.
>
>
>19. Teorema Fundamental da �lgebra:
>Todo polin�mio n�o constante de coeficientes complexos possui (polo menos)
>uma raiz complexa.
>
>
>*****
>
>�LGEBRA:
>
>20. Completando quadrados:
>Dado um trin�mio do 2o. grau: y = ax^2 + bx + c, com a > 0, tem-se que:
>i) y = 0 para x = (-b - raiz(b^2-4ac))/(2a) e x = (-b + raiz(b^2-4ac))/(2a);
>ii) y � m�nimo e igual a c - b^2/(4a) para x = -b/(2a).
>
>
>21. O m�todo de elimina��o Gaussiana para resolu��o de sistemas de equa��es
>lineares (adeus, regra de Cramer!);
>
>
>22. Posto-linha = Posto-coluna:
>Seja A uma matriz qualquer (n�o necessariamente quadrada) de coeficientes
>reais. Ent�o, o n�mero m�ximo de linhas linearmente independentes de A
�
>igual ao n�mero m�ximo de colunas linearmente independentes de A.
>
>
>23. Desigualdade MG <= MA:
>Sejam a(1), a(2), ..., a(n) n�meros reais positivos. Ent�o:
>(a(1)*a(2)*...*a(n))^(1/n) <= (a(1)+a(2)+...+a(n))/n, onde a igualdade
vale
>se e somente se a(1) = a(2) = ... = a(n).
>
>
>24. A desigualdade do rearranjo:
>Sejam a(1), a(2), ..., a(n) e b(1), b(2), ..., b(n) duas sequ�ncias
>n�o-decrescentes de n�meros reais. Seja c(1), c(2), ..., c(n) uma permuta��o
>qualquer dos b(i). Ent�o:
>a(1)*c(1)+a(2)*c(2)+...+a(n)*c(n) <= a(1)*b(1)+a(2)*b(2)+...+a(n)*b(n)
>e
>a(1)*b(n)+a(2)*b(n-1)+...+a(n)*b(1) <= a(1)*c(1)+a(2)*c(2)+...+a(n)*c(n).
>
>
>25. Progress�es Geom�tricas e Fibonacci:
>Existe uma �nica progress�o geom�trica de termos positivos (a(i)) que
>obedece � equa��o de recorr�ncia de Fibonacci a(n) = a(n-1) + a(n-2).
>
>
>*****
>
>
>AN�LISE COMBINAT�RIA E PROBABILIDADE:
>
>26. A rela��o de Stifel (ou Stifel-Pascal) e suas consequ�ncias alg�bricas
>e
>interpreta��o combinat�ria:
>Se n e p s�o inteiros positivos ent�o:
>Binom(n,p) = Binom(n-1,p) + Binom(n-1,p-1)
>
>
>27. O princ�pio das Casas de Pombos:
>Se mais do que n objetos s�o distribu�dos por n caixas, ent�o deve haver
>pelo menos uma caixa com pelo menos 2 objetos.
>Consequ�ncias:
>i) Em todo grupo de 6 pessoas, existem 3 que se conhecem mutuamente ou
3
>que
>se desconhecem mutuamente;
>ii) Se um paciente tem que tomar 48 p�lulas em 30 dias, sendo que ele toma
>pelo menos uma p�lula por dia, ent�o existe uma sequ�ncia de dias
>consecutivos nos quais ele toma exatamente 11 p�lulas;
>iii) Toda sequ�ncia de m*n+1 n�meros reais distintos possui uma subsequ�ncia
>crescente de n+1 termos ou uma subsequ�ncia decrescente de m+1 termos;
>iv) Toda sequ�ncia de n�meros reais possui uma subsequ�ncia mon�tona;
>v) Se a � irracional, ent�o o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros} � denso
>em R (ou seja, qualquer intervalo aberto, por menor que seja, cont�m algum
>elemento de A - de fato, cont�m uma infinidade de elementos de A);
>vi) Dada uma sequ�ncia qualquer de algarismos, existe uma pot�ncia de 2
cuja
>representa��o decimal come�a com aquela sequ�ncia.
>
>
>28. O problema do jogo interrompido:
>Dois jogadores, A e B, lan�am sucessivamente uma moeda (ou seja, um simples
>"cara ou coroa"). A moeda n�o � necessariamente honesta, de forma que as
>probabilidades de A e B vencerem cada rodada s�o iguais a "p" e "q",
>respectivamente, com p + q = 1. A vit�ria em cada rodada vale 1 ponto para
>o
>vencedor e 0 para o perdedor. Aquele que primeiro acumular "n" pontos vence
>o jogo e recebe um pr�mio de R$ 100. No momento em que A acumula "a" pontos
>e B acumula "b" pontos (0 <= a < n e 0 <= b < n) eles s�o for�ados a
>interromper o jogo. De que forma A e B devem dividir os R$ 100?
>
>
>******
>
>
>GEOMETRIA:
>
>29. Teorema de Pit�goras e seu rec�proco:
>Sejam a, b, c (a >= b >= c) as medidas dos lados de um tri�ngulo.
>O tri�ngulo � ret�ngulo se e somente se a^2 = b^2 + c^2.
>
>
>30. Pontos not�veis num tri�ngulo:
>As medianas de um tri�ngulo concorrem num mesmo ponto (o baricentro ou
>centr�ide do tri�ngulo);
>As mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto (o circuncentro - centro
>do c�rculo circunscrito);
>As bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto (o incentro - centro
do
>c�rculo inscrito);
>As alturas concorrem num mesmo ponto (o ortocentro).
>
>
>31. A reta de Euler:
>Em qualquer tri�ngulo, o circuncentro (C), o baricentro (B) e o ortocentro
>(O) s�o colineares e tais que m(OB) = 2*m(BC).
>
>
>32. O c�rculo dos 9 pontos:
>Em qualquer tri�ngulo, os pontos m�dios dos 3 lados, os p�s das 3 alturas
>e
>os pontos m�dios dos 3 segmentos que ligam cada v�rtice ao ortocentro
>pertencem a uma mesma circunfer�ncia.
>
>
>33. O tri�ngulo �rtico:
>O tri�ngulo cujos v�rtices s�o os p�s das alturas de um tri�ngulo ABC dado
>�
>chamado de tri�ngulo �rtico de ABC. Ele tem as seguintes propriedades:
>i) As alturas de ABC s�o bissetrizes internas do tri�ngulo �rtico;
>ii) Dentre todos os tri�ngulos inscritos em ABC (isto �, com um v�rtice
>contido em cada lado de ABC), o tri�ngulo �rtico � aquele de menor
>per�metro.
>
>
>34. Teorema de Ceva:
>Num tri�ngulo ABC, sejam as cevianas AX, BY e CZ (X em BC, Y em AC e Z
em
>AB). Estas cevianas concorrem num mesmo ponto se e somente se:
>(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA) = 1.
>
>
>35. Heron e Brahmagupta:
>i) �rea de um tri�ngulo cujos lados tem medidas a, b, c:
>�rea = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) , onde p = semi-per�metro = (a+b+c)/2;
>ii) �rea de um quadril�tero inscrit�vel cujos lados medem a, b, c, d:
>�rea = raiz((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)) , onde p = (a+b+c+d)/2.
>
>
>36. A desigualdade isoperim�trica:
>Entre todas as curvas fechadas de igual per�metro, a circunfer�ncia � a
que
>engloba a maior �rea.
>
>
>37. A desigualdade Eduardo Wagner:
>Em qualquer tri�ngulo, o semi-per�metro nunca � menor do que a soma dos
>produtos de cada lado com o cosseno do �ngulo oposto. Ou seja:
>p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C).
>
>
>38. Os 5 poliedros regulares:
>Existem 5 poliedros regulares (aqueles cujas faces sao poligonos regulares
>congruentes) - tetraedro, cubo, octaedro, dodocaedro e icosaedro. Ademais,
>estes s�o os �nicos poliedros regulares.
>
>
>39. Se��es c�nicas e o teorema de Dandelin:
>A intersec��o de um cone com um plano que n�o passa pelo seu v�rtice resulta
>em uma elipse, uma par�bola ou uma hip�rbole, dependendo de se o �ngulo
>entre a normal ao plano e o eixo do cone for menor, igual ou maior do que
>o
>�ngulo entre a geratriz e o eixo do cone.
>
>No caso de uma elipse, existir�o duas esferas que tangenciam o plano e
est�o
>inscritas no cone (ou seja, a intersec��o delas com o cone ser� uma
>circunfer�ncia) - uma delas situada entre o plano e o v�rtice do cone e
a
>outra no semi-espa�o oposto determinado pelo plano. Nesse caso:
>i) Os pontos de tang�ncia das esferas com o plano s�o precisamente os focos
>da elipse;
>ii) As diretrizes da elipse s�o as retas onde o plano intersecta os planos
>que cont�m as circunfer�ncias onde as esferas tangenciam o cone.
>
>No caso de uma par�bola, existir� uma �nica esfera tangente ao plano e
>inscrita no cone, situada entre o plano e o v�rtice do cone. Nesse caso:
>i) O ponto de tang�ncia da esfera com o plano ser� o foco da par�bola;
>ii) A diretriz da par�bola ser� a reta onde o plano intersecta o plano
que
>cont�m a circunfer�ncia onde a esfera tangencia o cone.
>
>No caso de uma hip�rbole, existir� em cada folha do cone uma esfera tangente
>ao plano e inscrita no cone, ambas situadas no semi-espa�o que cont�m o
>v�rtice do cone. Nesse caso:
>i) Os pontos de tang�ncia das esferas com o plano s�o precisamente os focos
>da hip�rbole;
>ii) As diretrizes da hip�rbole s�o as retas onde o plano intersecta os
>planos que cont�m as circunfer�ncias onde as esferas tangenciam o cone.
>
>
>40. A formula de Euler para poliedros convexos:
>Num poliedro convexo qualquer com F faces, A arestas e V v�rtices, vale
a
>rela��o: V - A + F = 2.
>
>
>41. Geometria Projetiva:
>i)Teorema de Desargues:
>Dados os tri�ngulos ABC e A'B'C', sejam os pontos:
>P = AB inter A'B'; Q = AC inter A'C'; R = BC inter B'C'. Ent�o:
>AA', BB' e CC' concorrem num mesmo ponto se e somente se P, Q e R forem
>colineares.
>
>ii)Teorema de Pappus:
>Dadas 2 retas quaisquer - r e s, e 3 pontos quaisquer sobre cada uma -
A,
>B,
>C sobre r (B entre A e C) e X, Y, Z sobre s (Y entre X e Z), os pontos:
>P = AY inter BX; Q = AZ inter CX; R = BZ inter CY s�o colineares.
>
>iii)Teorema de Pascal:
>Se um hex�gono ABCDEF (n�o necessariamente convexo) est� inscrito numa
>c�nica, ent�o os pontos P = AB inter DE, Q = BC inter EF e R = CD inter
FA,
>de intersec��o de cada par de lados opostos, s�o colineares.
>
>iv) Teorema de Brianchon:
>Se um hex�gono ABCDEF est� circunscrito a uma c�nica (de forma que cada
um
>dos 6 lados a tangenciem), ent�o as diagonais principais AD, BE e CF desse
>hex�gono concorrem num mesmo ponto.
>
>
>*********
>
>
>REFER�NCIAS:
>
>De forma geral, as melhores refer�ncias s�o as Eurekas e a pr�pria lista
>obm-l, onde v�rios dos resultados acima j� foram demonstrados.
>
>Al�m delas, o site:
>http://www.cut-the-knot.org/
>possui muito material complementar interessante (em especial, uma lista
>fant�stica de problemas - com solu��es - sobre o PCP).
>
>O Nicolau e o Gugu escreveram um artigo excelente sobre a desigualdade
>isoperim�trica, o qual pode ser encontrado nas p�ginas pessoais de ambos.
>
>Outras refer�ncias s�o os livros:
>AS PROVAS EST�O NO LIVRO
>Martin Aigner / Gunter M. Ziegler
>Editora Edgard Blucher
>
>O QUE � A MATEM�TICA
>Richard Courant / Herbert Robbins
>Editora Ci�ncia Moderna
>
>AN�LISE REAL - volume 1
>Elon Lages Lima
>Cole��o Matem�tica Universit�ria - IMPA
>
>�LGEBRA LINEAR
>Elon Lages Lima
>Cole��o Matem�tica Universit�ria - IMPA
>
>100 GREAT PROBLEMS OF ELEMENTARY MATHEMATICS
>Heinrich Dorrie
>Editora Dover
>
>THE ENJOYMENT OF MATHEMATICS
>Hans Rademacher / Otto Toeplitz
>Editora Dover
>
>GEOMETRY REVISITED
>H.S.M.Coxeter / S.L.Greitzer
>Editado pela Mathematical Association of America (MAA)
>
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>
>=========================================================================
>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>
------------------------------------------
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
