on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Espero que esteja certo, de uma conferida.. > > Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes > continuas de a. > Oi, Marcio:
Realmente, com fracoes continuas o resultado sai, mas eu estava pensando numa solucao mais elementar, usando apenas o PCP. > Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+.... e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, > p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) > com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < (1/q_n)^2 > Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um > eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps. > Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < (q_n)*a - p_n < eps. > Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum > multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo. > > Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora > olhando para as reduzidas de ordem impar. > Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter R+ e B inter R-. Obvia, depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma msg com a solucao mais elementar usando essa ideia. > Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das > relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto > por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado > a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que "eh" > o algoritmo de euclides). > > Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma > (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo >> = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. > Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em > R. > Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com a negativo, serah que B tem algum ponto de acumulacao? Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================