Oi Felipe Pina! From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]> > > Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui > resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. > > Seja (a[n]) a seqüência real definida por : > a[0] = 1 > a[1] = 1 > n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) ) > > Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que, > para todo n, 1 <= a[n] <= 2.
Pode-se mostrar por indução. Suponhamos que n >=2 e 1 <= a_(n-2), a_(n-1) <= 2 então a_n >= sqrt( a_n ) >= 1 e a_n <= sqrt( 2 + sqrt(2*2) ) = sqrt( 4 ) = 2. Como vale 1 <= a_n <= 2 para n=0 e n=1, vale para todo n natural. > Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que > conseguimos mostrar foi que : > > (1) a[k+1] >= a[k] >= a[k-1] -> 1 <= a[k] <= r > (2) a[k+1] <= a[k] <= a[k-1] -> r <= a[k] <= 2 > (3) a[k] = a[k-1] = 2 -> a[k+1] = 2 (Durh!) Eu não sei como vocês conseguiram demostrar isto. Mas a conclusão de vocês abaixo não está certa, o que me sugere que a demonstração de vocês não está boa. > Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~ > 1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ] > Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que pertence > ao intervalo [1,2] > Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que : > > (N1) r < a[k] <= 2 -> (a[k+1] < a[k]) ou (a[k] < a[k-1]) > (N2) 1 <= a[k] < r -> (a[k+1] > a[k]) ou (a[k] > a[k-1]) > > Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos > descer agora! :) > Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas. > E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora. > Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota ( > por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umas osciladas espertas.. > sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa.... De fato, não é isto que acontece. Você pode iterar, com o auxílio do Maple ou de uma calculadora, os primeiros valores da seqüência a_n e constatar que ela é estritamente crescente (para os primeiros valores). Depois, você pode demonstrar que ela é uma seqüência crescente, por indução finita. Não é difícil. Se a_0 <= a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_(n-2) < a_(n-1) então a_(n-2) < a_(n-1) e sqrt(2*a_(n-3)) < sqrt(2*a_(n-2)). Combinando estas duas desiguldades e usando (novamente) que a função sqrt é crescente tem-se sqrt(a_(n-2) + sqrt(2*a_(n-3))) < sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2)), ou seja, a_(n-1) < a_n. Portanto a seqüência a_n é crescente e limitada (por 2), logo convergente. Seja a = lim(a_n). Temos a = lim(a_n) = lim sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2))) = sqrt( lim(a_(n-1)) + sqrt(2*lim(a_(n-2)))) = sqrt(a+sqrt(2a)). Daí a^2 = a + sqrt(2a). Podemos escrever como a(a-1) = sqrt(2a) e a^2(a-1)^2 = 2a, simplificando (pois a=0 não nos interessa), a(a-1)^2 = 2. Expandindo a^3 - 2a^2 + a - 2 = a^2(a - 2) + (a - 2) = (a^2 + 1)(a - 2). A única raiz no intervalo [1, 2] é a=2. Segue que o limite da seqüência a_n é igual a 2. Abraço Duda. > Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este > problema. Aguardo comentários. > > []s > Felipe Pina > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================