Sejam x, y e z o numero de petecas, bolas e bonecas compradas. De acordo com o enunciado, Marta gastou x + 10 y + 20z = 220 reais e adquiriu um total de x+y+z = 102 unidades. Precisamos assim reolver o seguinte sistema de equacoes lineares: x + 10y + 20z = 220 x + y + z = 102
considerando que, para que a solucao faca sentido, os valores de x, y e z tem que ser inteiros nao negativos. O sistema tem mais incognitas do que equacoes e, como suas 2 equacoes sao linearmente independentes, ele apresenta uma infinidade de solucoes reais. Vamos agora verificar se, ao incluirmos a restricao de que x, y e z sao inteiros nao negativos, o sistema se torna determinado (ou impossivel). Subtraindo-se a 2a equacao da primeira, obtemos 9y +19z = 118 e, portanto, y = (118-19z)/9. Al�m disto, temos x= 102 - y -z . Para que as restricoes sejam atendidas, devemos ter 118-19z>=0 e, como z eh inteiro, z<= Piso(118/9)=6. Logo, 0<=z<=6. Adicionalmente, precisamos ter 118=19z Mod (9), isto eh, (118-19z)/9 tem que ser inteiro. Como 19 eh primo, esta congruencia tem solucao. No conjunto 0<=z<=6 a unica solucao eh z =1, o que nos leva a y =11 e a x = 90. Marta, portanto, comprou 90 petecas, 11 bolas e 1 boneca. Nao hah outra possibilidade. Artur > Marta comprou petecas, bolas e boneca, pagando por > cada unidade, respectivamente, 1,00; 10,00; 20,00. > Gastou 220,00 em um total de 102 unidades desses > brinquedos. Quantas petecas ela comprou? > > > > ======================================================================== = > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================================== = ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
