há algum tempo foi proposto o seguinte problema :
Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K Seja X um subconjunto L.I. de V com n elementos Prove que X é uma base para V
E algumas soluções foram oferecidas. Eu gostaria de apresentar uma (pseudo)solução adicional que usa o seguinte teorema :
Teorema ------- Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K Então V e W são isomorfos <=> dimensão(V) = dimensão(W)
Solução
-------
Seja E=[X] o espaço vetorial gerado por X (sobre o corpo K).
Como X é L.I. e X gera E, X é uma base para E.
Ora, dimensão(E) = cardinalidade(X) = n = dimensão(V)
Pelo Teorema acima, E é isomorfo a V.
Mas sabemos que E < V (onde '<' significa 'contido').
Então temos um isomorfismo entre um subconjunto de V (a saber, E) e o próprio V.
Gostaria de concluir que E = V mas não consigo...
Bom, mas isto mostra, entre outras coisas, que a imagem de X pelo isomorfismo acima é uma base de V.
Logo, a menos de isomorfismos, X é realmente uma base de V.
Obs : De fato, E = V (igualdade de conjuntos), mas com esta trilha não consegui mostrar isto. Talvez alguém possa me ajudar.
[]s Felipe Pina ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
