on 01.10.03 03:42, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for > incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de > vestibulares do IME: > > (IME 96) > Dados os trinômios de segundo grau: > y = ax^2 + bx + c (I) > y = a´x^2 + b´x + c´ (II) > Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do > trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). > Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, > b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. > > obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser > iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em > 3 harmonicamente? > O segmento A'B' divide o segmento AB harmonicamente se: AA'/BA' = -AB'/BB' (segmentos orientados, ou seja, AA' = A' - A, etc...)
Assim, por exemplo, no eixo x, se: A = 0, B = 1 e A' = x (0 < x < 1) e B' = y, entao: x/(x-1) = -y/(y-1) ==> y = x/(2x-1) Repare que: 0 < x < 1/2 ==> -infinito < y < 0 1/2 < x < 1 ==> 1 < y < + infinito lim(x->1/2-) y = -infinito e lim(x->1/2+) y = +infinito. ***** Sejam A e B as raizes de (I) e A' e B' as de (II): Divisao harmonica ==> AA'/BA' = -AB'/BB' ==> (A'-A)/(A'-B) = -(B'-A)/(B'-B) ==> (A'-A)*(B'-B) = (B'-A)*(B-A') ==> A'B' + AB - AB' - A'B = BB' + AA' - AB - A'B' ==> 2A'B' + 2AB = BB' + AA' + AB' + A'B ==> 2(A'B' + AB) = (A+B)(A'+B') ==> 2(c'/a' + c/a) = (-b/a)(-b'/a') ==> 2(ac' + a'c) = bb' Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================