Veja a definicao: (x_n) eh uma sequencia de Cauchy se, para todo eps >0 arbitrariamente escolhido, existir um natural k tal d(x_m, x_n)<eps para TODOS m,n>=k. Logo, k tem que depender exclusivamente de eps. Nao podemos assumir uma relacao entre m e n. No exemplo que vc deu, o que vc efetivamente fez foi o seguinte: Como d(x_n+1,xn) -> 0, para todo eps>o podemos encontrar um k tal que d(x_n+1,x_n)<eps para todo n>=k. Se m>n, podemos entao encontrar k tal que d(x_n+1,x_n)<eps/(m-n) para n>=k, condicao que, pela desigualdade triangular, implica de fato que que d(x_m,x_n)<eps para todos n,m>=k MAS tais que m-n seja CONSTANTE. Voce implicitamente assumiu uma relacao entre m e n, isto eh, estabeleceu que m=n+C, sendo C uma constante. Porque isto nao atende aa condicao de Cauchy? Porque o k que funciona para uma dada constante C1 pode nao funcionar para uma outra constante C2, isto eh o k depende de uma relacao estabelecida entre m e n. Sugestao: Analise a sequencia L(n). Ela atende aa condicao que vc deu. Verifique, com base no que vimos, que esta NAO eh uma sequencia de Cauchy. De fato, esta sequencia vais para o infinito. Artur
> Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. > > Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo > d( x_(n+1), x_n ) -> 0. > Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n > > -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - .... > + x_(n+1) - x(n) > > Usando a desigualdade triangular... > > -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + .... > + d( x_(n+1) , x(n) ) > > Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado > direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser > verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não > estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... > > Obrigado, > Felipe Pina > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================