Oi, Will: Acho que a sua ideia dah certo.
Depois da n-esima iteracao, voce terah 3^n sub-intervalos, cada um de tamanho 1/3^n e tais que, chamando c(k) = cor do k-esimo sub-intervalo: c(2m) = amarelo c(2m - 1) = branco, para m inteiro positivo. Alem disso, a soma dos comprimentos dos intervalos amarelos produzidos em cada iteracao forma uma sequencia crescente: 1/3, 4/9, 13/27, ..., (1/2)*(1 - 1/3^n), ... e a soma dos comprimenmtos dos intervalos brancos forma uma sequencia decrescente: 2/3, 5/9, 14/27, ..., (1/2)*(1 + 1/3^n), ... Ambas convergem para 1/2, o que implica que A e B sao nao enumeraveis (jah que todo subconjunto enumeravel de R tem comprimento zero). Alem disso, uma analise semelhante de qualquer sub-intervalo produzido a partir da n-esima iteracao irah provar que este intervalo (de comprimento 1/3^n) possui uma infinidade nao-enumeravel de pontos de A e de B. Agora, sejam a e b reais tais que 0 <= a < b < 1. Como 1/3^n tende a zero, existem m e p naturais tais que: a < p/3^m < (p+1)/3^m < b. Assim, qualquer intervalo (a,b) conterah um sub-intervalo produzido em alguma iteracao do processo e, portanto, terah interseccao nao enumeravel com A e B. Finalmente, eh soh repetir a construcao para todos os intervalos da forma [k,k+1) com k inteiro, e teremos uma particao da reta em dois subconjuntos com a propriedade desejada. Gostei! Um abraco, Claudio. on 03.10.03 00:28, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pensei na seguinte construção... > > Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. > > Divida-o em três pedaços. > Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. > > Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um > pouco. > Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, > pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo > Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. > > Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso > de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) > > Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações > pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. > > - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... > > Will > > > ----- Original Message ----- > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM > Subject: [obm-l] Particao de R > > > Oi, pessoal: > > Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois > conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter > I sao nao-enumeraveis? > > Um abraco, > Claudio. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================