1) Uma id�ia legal � a seguinte : Se vc quer mostrar que I+A � invers�vel, basta mostrar que o sistema linear homog�neo cuja matriz principal � I+A � poss�vel determinado, ou seja, n�o admite solu��o n�o trivial. Suponha ent�o por contradi��o que esse sistema possui uma solu��o n�o trivial (x1,x2,...,xn) (represente por uma matriz coluna X n por 1 n�o nula). Ent�o (I+A)X=0, logo AX=-X. Agora use que A^3=kA :
-kX=kAX=A^3X=AAAX=AA(-X)=-AAX=-A(-X)=AX=-X ent�o kX=X e como X � n�o nula, k � igual a 1, uma contradi��o. Portanto o sistema n�o possui solu��o n�o trivial, ou seja I+A � invers�vel.
2) Seja U=A+I, ent�o temos A=U-I. Agora use que A^3=kA :
(U-I)^3=k(U-I), ou seja U^3-3*U^2+3*U-I = kU-kI, logo temos que U*(U^2-3*U+(3-k)*I) = (1-k)*I, portanto U � �nvers�vel ( sua inversa � igual a [ U^2-3*U+(3-k)*I ] / (1-k) (t� ok, pois k � diferente de 1).
Abra�os,
Villard
========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================--------- Mensagem Original --------
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Ime...
Data: 22/10/03 13:12
on 22.10.03 12:26, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acredito que esta quest�o j� tenha sido feita na lista....Se algu�m tiver paci�ncia de repassa-la para mim....agrade�o muito..Acho que estou atropelando os conceitos os conceitos.
Considere uma matriz A, nXn, de coeficientes reais, e k um n�mero real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=k.A, prove que a matriz A+I � invert�vel, onde I � a identidade de ordem n.
Vou usar um truquezinho que aprendi aqui na lista mesmo (se nao me engano com o Villard).
A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A + z*I, onde x, y, z sao numeros reais a serem determinados.
(A + I)*(x*A^2 + y*A + z*I) = I =>
x*A^3 + (x+y)*A^2 + (y+z)*A + (z-1)*I = 0 =>
(x+y)*A^2 + (y+z+k*x)*A + (z-1)*I = 0.
Agora eh soh igualar os coeficientes a zero.
Fazendo z = 1, cairemos no sistema:
x + y = 0
y + k*x = -1
Solucao: x = 1/(1 - k) e y = -1/(1 - k) (OK, pois k <> 1).
Logo, a matriz B = (1/(1-k))*A^2 - (1/(1-k))*A + I eh tal que (A+I)*B = I =>
A + I eh inversivel.
Um abraco,
Claudio.
