On Tue, Oct 28, 2003 at 12:40:10PM -0300, Carlos Alberto wrote:
> A quest�o �:
>
> Determine uma fun��o quadr�tica tal que f(-1)=-4, f(1)=2 e f(2)=-1:
>
> Eu estava resolvendo dessa maneira.
>
> f(x)=ax^2+bx+c ent�o temos que,
>
> f(-1)=a-b+c=-4
>
> f(1)=a+b+c=2
>
> f(2)=4a+2b+c=-1
>
> Teremos um sistema assim:
>
> a - b + c = -4
> a + b + c = 2
> 4a + 2b + c = -1
>
> Tenho que achar o valor de a,b e c!!!
>
> S� que ai esta o problema, eu n�o lembro como se faz... Algu�m poderia me ajudar??
A melhor maneira de resolver sistemas lineares � fazendo opera��es nas
equa��es para obter outras equa��es mais f�ceis (quando isto � feito
de forma mais organizada chama-se elimina��o gaussiana).
Somando as duas primeiras linhas temos 2a + 2c = -2 donde a + c = -1
ou c = -a-1. Fazendo a segunda linha menos a primeira temos 2b = 6 ou b = 3.
Substituindo isso tudo na �ltima equa��o temos 4a + 6 + (-a-1) = -1 ou
3a = -6 ou a = -2.
Resumindo, a = -2, b = 3, c = 1 e a fun��o � f(x) = -2 x^2 + 3 x + 1.
Substituindo voc� pode verificar que d� certo.
Ali�s este problema (encontrar um polin�mio de grau m�nimo dados os seus
valores em alguns pontos) chama-se interpola��o de Lagrange.
Se damos n pontos e pedimos um polin�mio de grau menor do que n,
o sistema sempre tem no m�ximo uma solu��o pois n�o existem polin�mios
de grau < n com de n ra�zes. Sabendo um pouco de �lgebra linear voc�
deduz que *existe* solu��o. Ou, sem �lgebra linear nenhuma, voc� pode escrever,
no seu caso,
f(x) = (-4(x-1)(x-2)/(-1-1)(-1-2)) +
+ (2(x+1)(x-2)/(1+1)(1-2)) + (-1(x+1)(x-1)/(2+1)(2-1)).
e � s� expandir.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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