on 01.11.03 14:16, fran�a luiz at [EMAIL PROTECTED] wrote: > seja T(a) a fun??o q expressa o numero de divisores > positivos de a , e T*(a) > , o num de divisores positivos ?mpares de a. > > prove q: > > T(2^n - 1) >= T(n) (este eu j? consegui) > T(2^n +1) >= T*(n) (este ainda n?o consegui) > > alguem tem alguma ideia? > >
Se d | n, entao 2^d - 1 | 2^n - 1. Alem disso, d1 <> d2 ==> 2^d1 - 1 <> 2^d2 - 1. Assim, a cada um dos divisores de n podemos associar um divisor distinto de 2^n - 1. Logo, 2^n - 1 tem pelo menos tantos divisores quanto n, ou seja: T(2^n - 1) >= T(n). Seja n = 2^k*m, onde m eh impar. Seja a = 2^(2^k). Claro que a > 1. Isso implica que 2^n + 1 = a^m + 1. Agora, como m eh impar, se d | m, entao a^d + 1 | a^m + 1. Alem disso. d1 <> d2 e a > 1 ==> a^d1 + 1 <> a^d2 + 1. Assim, a cada um dos divisores de m podemos associar um divisor distinto de a^m + 1 = 2^n + 1. Mas os divisores de m sao justamente os divisores impares de n. Logo, T(2^n + 1) >= T*(n). Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
