On Sat, Nov 08, 2003 at 03:32:24AM -0200, Thiago Cerqueira wrote:
> o que, em verdade, � o infinito?
Outras pessoas j� mandaram respostas boas mas acho que eu posso complementar.
H� muitos usos para a palavra infinito em matem�tica. Vou enumerar alguns.
Em teoria dos conjunto h� conjuntos infinitos (um conjunto A � infinito
se existir uma fun��o injetora mas n�o sobrejetora f: A -> A).
H� tamb�m dois tipos de n�meros infinitos: cardinais infinitos
e ordinais infinitos. Dois conjuntos A e B tem o mesmo cardinal
se existir uma bije��o f: A -> B; Cantor provou que existem conjuntos
infinitos com cardinalidades diferentes, por exemplo N (o conjunto dos
naturais) e R (o conjunto dos reais) e usou isso para demonstrar a
exist�ncia de n�meros transcendentes (que n�o satisfazem nenhuma
equa��o polinomial n�o trivial com coeficientes inteiros).
A defini��o de um n�mero ordinal � um pouco mais complicada,
vou apenas dar uma id�ia vaga: voc� come�a a contar
0,1,2,3,4,...
e, chegando ao infinito, continua,
0,1,2,3,4,...,w,w+1,w+2,w+3,w+4,...,w2,w2+1,...,w3,...,w4,.......,w^2,...
Tudo isso est� bem explicado no livro
Na�ve Set Theory, de Halmos.
Em an�lise cl�ssica o infinito aparece como uma palavra que n�o corresponde
a nada (a un n�mero). Por exemplo, se escrevemos
lim_{n -> infinito} 1/n = 0
n�o estamos dizendo que existe um n�mero chamado infinito e que 1/infinito = 0.
N�o existe no conjunto dos n�meros reais nenhum n�mero chamado de infinito.
Mas isso n�o nos pro�be de acrescentarmos objetos novos a R.
Em an�lise complexa isto � muito comum e �til e o conjunto C U {infinito}
� conhecido como a esfera de Riemann.
Em geometria tamb�m � �til "inventar" pontos novos:
uma constru��o deste tipo � a geometria projetiva na qual acrescentamos
ao plano n�o um, mas infinitos pontos no infinito, ali�s uma reta inteira
de pontos no infinito.
Outra teoria em que aparecem n�meros infinitos � em an�lise n�o-standard,
um forma diferente de fazer an�lise onde as dificuldades com epsilons e
deltas s�o trocadas por dificuldades l�gicas pois nem toda frase � permitida.
Ainda outro lugar onde n�meros infinitos aparecem � na constru��o de Conway
dos n�meros surreais.
Se a sua preocupa��o � de car�ter l�gico, talvez ela seja a de Hilbert:
se as demonstra��es usando conjuntos infinitos n�o podem ser aritmetizadas
para falar apenas de inteiros. Como G�del nos ensinou, a resposta � n�o:
a permiss�o para falar de conjuntos infinitos nos torna capazes de demonstrar
mais, mesmo se nos limitarmos a frases finitistas.
Ou, em um tom relacionado, talvez voc� esteja preocupado com a consist�ncia
de falar de conjuntos infinitos: novamente G�del nos ensina que � imposs�vel
demonstrar a consist�ncia dos racioc�nios infinit�rios usando ferramentas
finitistas.
A conclus�o � que o infinito aparece em matem�tica de tantas maneiras
diferentes que fica bem dif�cil responder a sua pergunta sem voc�
explicar melhor o que voc� espera.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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