on 24.11.03 14:02, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Mon, Nov 24, 2003 at 12:56:01PM +0000, Rogerio Ponce wrote: >> Olá pessoal, >> >> Joga-se uma moeda honesta até que a quantidade obtida de "caras" seja maior >> que a de "coroas" , quando então interrompe-se a sequência de jogadas. >> Qual a probabilidade dessa sequência não terminar nunca ? > > ZERO > > Este problema é um clássico. > >> Variação: >> E se a moeda apresenta uma probabilidade de 60% de dar "coroa" ? > > Vou generalizar ainda mais. > > Suponha que a moeda tem probabilidade p >= 1/2 de dar coroa. > Se em um dado momento as coroas tem uma vantagem de k > 0 > qual a probabilidade de que as caras nunca consigam nem empatar o jogo? > > Seja f(k) a resposta, f: Z -> [0,1]. > Por definição temos f(k) = 0 para k <= 0. > Para k > 0 jogamos a moeda uma vez: se cair cara, o que tem probabilidade > (1-p) de acontecer, a probabilidade passa a ser f(k-1); por outro lado, > se cair coroa, o que tem prob p de acontecer, a prob passa a ser f(k+1). > Assim: > > f(k) = (1-p) f(k-1) + p f(k+1) para k > 0. > > Uma solução para esta equação é dada por > > f(k) = 0 para k <= 0 e f(k) = 1 - a^k para k >= 0 onde a = (1-p)/p. > > De fato esta é a solução correta: ela é a única que tende para 1 > quando k tende para infinito. > > Mas escrevendo isso estou com uma sensação de déja vu: acho que este > problema já foi discutido nesta lista. > > []s, N.
Nao sei se foi discutido ou nao, mas me parece que esse problema estah relacionado aos numeros de Catalan. Eh facil ver que o jogo soh pode parar apos um numero impar de lancamentos. Se o jogo para no (2m+1)-esimo lancamento, entao terao sido obtidas m+1 caras e m coroas. Alem disso, ateh o 2m-esimo lancamento (que tem que ter dado cara), as caras nunca estiveram na frente. O numero de maneiras disso acontecer eh Binom(2m,m)/(m+1) = m-esimo numero de Catalan. Logo, a probabilidade do jogo acabar no (2m+1)-esimo lancamento eh igual a P(2m+1) = Binom(2m,m)/(m+1) * p^m * (1-p)^(m+1). A probabilidade do jogo nao terminar nunca serah igual a: 1 - (P(1) + P(3) + P(5) + ... ) Eh interessante observar que, para p >= 1/2: P(1) + P(3) + P(5) + ... = (1-p)/p Ou seja, que: (1-p) * SOMA(m>=0) Binom(2m,m)/(m+1) * (p*(1-p))^m = (1-p)/p ==> Quando p varia de 1/2 a 1, p*(1-p) varia de 1/4 a 0. Fazendo b = p*(1-p) obtemos um resultado que talvez seja interessante por si soh (o que voce acha, Luis Lopes?): Para 0 <= b <= 1/4: SOMA(m>=0) Binom(2m,m)/(m+1) * b^m = (1 - raiz(1 - 4b))/2 Para b > 1/4, o termo geral nao tende a zero (teste da razao ou Stirling) e a serie diverge. Uma outra consequencia eh que se expandirmos (1 - raiz(1 - 4x))/2 em serie, obteremos justamente a serie formal cujos coeficientes sao os numeros de Catalan. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================