Sauda,c~oes,
Sejam as somas
S_n(m) =: \sum_{j\geq0} (-1)^j \binom{n}{5j+m} ,
m=0,1,2,3,4.
As formas fechadas dessas somas são (The
Mathematical Gazette Julho 2003):
S_n(0)=:\sum_{j\geq0}(-1)^j{n\choose5j}=
{2\over5} [ a^n \cos{n\pi\over10} + b^n \cos{3n\pi\over10} ]
S_n(1)=:\sum_{j\geq0}(-1)^j{n\choose5j+1}=
{2\over5} [ a^n\sin{(n+3)\pi\over10} -
b^n\sin{3(n+3)\pi\over10} ]
S_n(2)=:\sum_{j\geq0}(-1)^j{n\choose5j+2}=
{2\over5} [ a^n\sin{(n+1)\pi\over10} -
b^n\sin{3(n+1)\pi\over10} ]
S_n(3)=:\sum_{j\geq0}(-1)^j{n\choose5j+3}=
{2\over5} [a^n\sin{(n-1)\pi\over10} -
b^n\sin{3(n-1)\pi\over10} ]
S_n(4)=:\sum_{j\geq0}(-1)^j{n\choose5j+4}=
{2\over5} [ a^n\sin{(n-3)\pi\over10} -
b^n\sin{3(n-3)\pi\over10} ]
onde
a=\sqrt{5+\sqrt5\over2} = [(5+\sqrt5)/2]^{1/2} e
b=\sqrt{5-\sqrt5\over2} = [(5-\sqrt5)/2]^{1/2}.
\binom{n}{m} = {n\choose m} = binom(n,m).
{x\over y} = x/y.
Posso mandar in off arquivos pdf e ps mostrando
esses resultados.
Dadas as formas fechadas, é possível deduzir
as recorrências satisfeitas por S_n(m) ?
[]'s
Luís
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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