Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Para complementar e enriquecer o ultimo paragrafo da mensagem do nosso estimado moderador, e importante que se diga que nos primordios da Teoria dos conjuntos, dado as implicacoes bizarras que se demonstrou derivarem do Axioma da Escolha, muitos matematicos achavam que uma demonstracao na qual nao se usava este axioma era "superior e preferivel" a qualquer outra, onde se fazia uso daquele axioma.
Existia, portanto, uma certa desconfianca com respeito a este axioma.
Foi aqui onde magistralmente se inseriu o Godel. Este Matematico provou que se a Teoria dos conjuntos + axioma da escolha implicasse em contradicoes, entao a Teoria dos conjuntos sozinha tambem nos levaria a contradicoes, isto e, o axioma da escolha poderia ser, se muito, um catalisador dos paradoxos, mas nao a causa deles. Este resultado de Godel e pouco conhecido, mas assim como os seus resultado mais famosos, foi uma contribuicao fundamental.
Em verdade, ate parece que Godel e sua turma vieram ao mundo para sacudir preconceitos e propor novos desafios, pois o estado de coisas que eles deixaram de forma alguma esgotou suas implicacoes ou/e foi devidamente aclimatado. Eles nos mostraram muitas coisas maravilhosas, mas : o que vamos fazer com elas ?
De "alguma forma" nos precisaremos "fechar" as nossas conquistas para que sejam transmissiveis as geracoes futuras e a unica forma validade que conheciamos era atraves da formalizacao, no pressuposto - hoje sabemos, errado - de que caberia aos posteros tao somente complementar os fundamentos que estabelemos. Todavia, toda vez que algum de nos tentar fazer isso, isto e, fechar o conhecimento na otica formalista ingenua de Hilbert, soara em nossos ouvidos as estrodosas gargalhadas do fantasma de Godel, que, arrastando as sua grossas correntes, aponta-nos o dedo e sarcasticamente diz : Nao, nao, nao ... Esse caminho nao e mais possivel ...
O que fazer ? Virar as costas para este fantasma nao e possivel. Encara-lo ? Como ?
Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1509,090104
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] Lema de Zorn
Date: Fri, 9 Jan 2004 14:02:31 -0200
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On Fri, Jan 09, 2004 at 10:10:27AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Alguém saberia dizer algum livro interessante que explique bem o Lema de > Zorn??
O meu livro favorito de introdução à Teoria do Conjuntos é o Naïve Set Theory, do Paul R. Halmos. Existe uma tradução para o português. Se você estiver interessado em um livro mais especializado tem o The Axiom of Choice, do T. Jech.
O Lema de Zorn diz o seguinte. Seja A um conjunto. Alguns subconjuntos de A são chamados "bons". Sabemos que se X é uma cadeia de conjuntos bons então a união de todos os conjuntos em X também é um conjunto bom. O Lema de Zorn então garante que existe um conjunto bom maximal.
Um conjunto de conjuntos X é uma cadeia se para todos Y1 e Y2 em X, ou Y1 está contido em Y2 ou Y2 está contido em Y1. Um conjunto bom Z é maximal se não existir nenhum conjunto bom Z' tal que Z está estritamente contido em Z'.
Como exemplo de aplicação, vou provar usando o Lema de Zorn que se B1 e B2 são dois conjuntos quaisquer então ou existe uma função injetora de B1 em B2 ou existe uma função injetora de B2 em B1 (ou as duas coisas). Seja A = B1 x B2, o produto cartesiano de B1 com B2. Um subconjunto Z de A é dito bom se sempre que (b1,b2) e (b1',b2') forem elementos distintos de Z então b1 é diferente de b1' e b2 é diferente de b2'. É bem fácil verificar a condição sobre cadeias.
Ora, o Lema de Zorn nos diz que existe Z bom maximal. Afirmo que ou a projeção de Z na primeira coordenada é B1, ou a projeção na segunda coordenada é B2 (ou as duas coisas). De fato, se nenhuma das duas projeções fosse igual a Bi então existiria um par (b1,b2) com b1 fora da projeção na 1a coordenada de Z e b2 fora da projeção na 2a coordenada de Z. Assim Z' = Z U {(b1,b2)} seria bom e Z estaria estritamente contido em Z', o que contraria a maximalidade de Z. Assim demonstramos (por absurdo) a afirmação.
Agora se a projeção de Z na 1a coordenada é B1 então Z é o gráfico de uma função injetora de B1 em B2. Analogamente, se a projeção de Z na 2a coordenada é B2 então Z^t (obtido trocando a ordem de cada par em Z) é o gráfico de uma função injetora de B2 em B1.
A afirmação que eu acabei de provar pode parecer "óbvia". De fato o axioma da escolha (e o lema de Zorn) são sutis neste sentido, o que eles dizem muitas vezes pode parecer "óbvio". Mas Gödel e Cohen já demonstraram que apesar das aparências, o axioma da escolha *não* é uma conseqüência dos outros axiomas da teoria dos conjuntos. Por outro lado, a quase totalidade dos matemáticos trabalha com a hipótese implícita ou explícita de que o axioma da escolha é "verdadeiro", isto é, nem se dão ao trabalho de avisar que estão usando o axioma e acham que a idéia de fazer matemática sem poder usar o axioma da escolha é estranha, bizarra, anti-intuitiva e provavelmente inútil.
[]s, N.
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